Hvor langt kan papegøyer fly uten å måtte lande?

Flyfugler var den opprinnelige inspirasjonen til design av en maskin som kunne fly og bære en person oppe, derfor er den ikke overraskende at aerodynamikken til fugleflukt og fly har mye til felles. Spesielt bruker de begge masse som energikilde for å opprettholde flyet, flydrivstoff eller bensin når det gjelder fly, og lagret kroppsfett hos fugler, og de har begge vinger som gir aerodynamisk løft når luften beveger seg over dem under flyging. I tillegg deler begge et annet trekk ved flyet, muligheten til å gli , å fortsette flyreisen uten å gi noe av sin egen energi for å opprettholde den flyturen. Denne energien tilveiebringes av atmosfæren selv i form av stigende luftstrømmer forårsaket av en forskjell i temperatur i en lokal «lomme» av luft; en lomme med luft som er varmere enn luften rundt vil stige fordi den har lavere tetthet, Archimedes-prinsippet i aksjon. En lignende prosess skjer når en pakke fuktig luft er omgitt av tørr luft ved samme temperatur som den fuktige luften, og dermed mindre tett enn tørr luft. Den tredje kilden til stigende luft skyldes lokal topografi; luften på vindsiden av en ås eller et fjell tvinges oppover og brukes ofte av fugler som en løftekilde.

Enhver diskusjon av glidefly vil uunngåelig involvere noen aspekter av atmosfærisk fysikk (aka, vær), det er ikke annerledes her. Som nevnt ovenfor, en pakke fuktig luft omgitt av tørr (er) luft den samme temperaturen vil stige. Så lenge den temperaturen er over metningstemperaturen (duggpunktet) for den luftpakken, vil vannet forbli i dampform. Vi vet alle at når vi går høyere i atmosfæren, faller temperaturen; det er kjøligere på toppen av et fjell enn ved basen. Når pakken vår med fuktig luft stiger, vil temperaturen synke, og til slutt er temperaturen den samme som duggpunktet i den pakken som fører til kondens av fuktigheten, det vil si at det dannes en sky. Ettersom en overflate med konstant temperatur i atmosfæren er nesten en jevn overflate, ser vi skyer på himmelen hvis baser er på samme nivå, nivået der denne kondensasjonen begynner. Nå, for litt termodynamikk; når vi koker vann ved å tilsette varme (altså energi) til det, gjør vi flytende vann til en damp (damp).Her er tingen, når vi kjøler den dampen ned til duggpunktet, vil den kondensere tilbake til flytende vann, og når vi gjør det, får vi varmen (som ble satt inn for å få det til å koke) tilbake igjen ! Den gjenvunne varmen viser seg som en økning i temperaturen i luften som nettopp ga opp vanndampen. Denne økningen i temperatur fører til at luften fortsetter å stige, nå på grunn av en temperaturforskjell med den omgivende luften i stedet for en vanndamptrykkforskjell ; skyen fortsetter å vokse oppover. Dette er kilden til cumulonimbus-skyene vi ser på himmelen som til slutt kan danne tordenvær. nøkkelfakta om været som er direkte knyttet til diskusjonen vår om glideflyging; hvis det ikke er noen opptrekk, er det ingen skyer. . Ingen skyer indikerer ingen oppdateringer. Hvis det ikke er noen oppgraderinger, er det ingen glidefly. Imidlertid bemerker vi at virkelig tørr luft er veldig vanskelig å finne; det kan fremdeles være varme rundt, men ikke sannsynlig, og de er ikke veldig sterke. Ta bort fra denne diskusjonen er dette: hvis vi ønsker å inkludere økninger i maksimal rekkevidde som følge av glidefly, må vi kunne forutsi været (som ikke har skjedd ennå, og jeg sier dette som en som har brukt år som en lavere og høyere student som er aktiv i atmosfærisk forskning.). Derfor vil ikke langdistanseflyvning bli tatt opp lenger her.

Vi begynner vår analyse av drevet flyging ved å vurdere et bestemt fly, si et passasjerfly fra Boeing 787. For å finne sin maksimale rekkevidde, ville flyet bli fullstendig oppdrevet, ta av og fly en jevn, konstant hastighet, som enhver akselerasjon (ved å endre høyde eller gå raskere) ville ha livet Når drivstofftanken blir tørr, har du nådd det maksimale rekkevidden av drevet flyreise (forutsatt at det ikke er noen hode- eller halevind selvfølgelig). drivstoffet som bæres av 787 er energikilden, $ E_s $ , som driver sin motorer. Disse motorene produserer trykkraften, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ rettet horisontalt, parallelt med 787 «s lengdeakse og til flystien, som motvirker effekten av den atmosfæriske dragkraften, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ som er imot 787-tallet bevegelse langs flystien. Under jevne flyforhold (konstant hastighet og høyde) er netto horisontale krefter på 787 null slik at $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ , eller $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Tar vi størrelsen på begge sider av dette uttrykket, finner vi at $ D = T $ slik at $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Vi finner at skyvekraften generert av motorene har samme størrelsesorden som, men rettet motsatt den atmosfæriske luftmotstanden.

Under de samme flyforholdene finner vi et lignende forhold for de vertikale kraftkomponentene som virker på 787, dens vekt, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ balanseres av heisen $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ generert av vingene slik at $ F_w = m_p g = L $ og $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ der $ m_p $ er øyeblikkelig masse (= startmasse av flyet, $ m_ {p_0} $ , minus massen av drivstoff brukt langt genererende skyvekraft) av 787 og $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ er standard gravitasjonsakselerasjon på jordens overflate. Vi bemerker her at både $ \ mathbf {L} $ og $ \ mathbf {F} _w under disse flyforholdene $ er vinkelrett på $ \ mathbf {T} $ og $ \ mathbf {D} $ .

Hvis skyvekraften fjernes slik at $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , vil dragkraften ikke lenger være imot og vil bremse flyet ned, og redusere hastigheten på luften som strømmer over vingen, noe som igjen vil få vingen til å generere mindre løft, og dermed starte flyets nedstigning (vekten er større enn heisen produsert av vinger). Hvis planet deretter «neses ned» med en vinkel $ \ alpha $ fra det horisontale, vil projeksjonen av flyets vektvektor, $ \ mathbf {F} _w $ på flyets lengdeakse vil ikke lenger være null, men vil i stedet være $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ rettet fremover mot motstanderstyrken.Hvis $ \ alpha $ er valgt slik at summen av denne projeksjonen og dravektoren er null, vil planet senke seg med konstant hastighet og størrelsen på dra er gitt av $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Projeksjonen av vektvektoren på aksen vinkelrett på planetets lengdeakse, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , balanseres med lik størrelse, men motsatt rettet løftevektor, hvis størrelse nå blir $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Hvis vi danner forholdet $ D / L $ vi finner \ begin {ligning} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {equation} Det inverse av dette forholdet, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , er kjent i aerodynamikk som forholdet lift to drag mens vinkelen $ \ alpha $ kalles skråningsvinkel . Disse to parametrene er viktige for den generelle karakteriseringen av aerodynamikken til en luftramme. Når dette forholdet er kjent, kan det brukes til å estimere dra i flukt. Men i flukt, heisen er lik størrelsen på flyets vekt, $ L = F_w = m_p g $ . Erstatter dette uttrykket i ekv. ~ $ \ eqref {1} $ og løser for dra \ begin {ligning} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {equation}

Vi har nådd poenget i våre analyser som vi trenger for å adressere masse- / energibudsjettet for flyets flytur. Det vil være nyttig å skille massen av flyet inn i dets tomme (uten drivstoff) masse, $ m_ {p_e} $ , og massen av tilgjengelig drivstoff, $ m_f $ , med den første startmassen av drivstoff gitt av $ m_ {f_0} $ . Når disse størrelsene er definert, blir den første startmassen til flyet gitt av $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ mens den øyeblikkelige massen er gitt av $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Under flyturen er massen av drivstoff tilgjengelig, $ m_f $ , varierer slik at $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ mens flyets masse, $ m_p $ , varierer som $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Det er to ekstra konstanter som kreves for å bestemme netto effektiv energi tilgjengelig for å utføre arbeid mot dragkraften når man bruker den (differensielle) mengden $ \ delta m_f $ drivstoff mens du flyr (differensial) avstanden $ \ delta \ mathbf {r} $ . Den første av disse, $ \ kappa $ , bestemmer den totale (differensielle) energien, $ \ delta E $ , tilgjengelig fra forbrenningen av mengden $ \ delta m_f $ av drivstoff \ begin {ligning} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} For et amerikansk fly som 787, $ \ kappa $ vil ha enheter omtrent som BTU per pund drivstoff brukt. Den andre, $ \ eta $ , spesifiserer effektiviteten for å konvertere tilgjengelig energi til faktisk arbeid, $ \ delta W $ , genererer trykk som motvirker dra \ begin {ligning} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {equation} der $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ er en differensiell forskyvningsvektor langs flyvebanen under konstant hastighet, horisontal bevegelse og minus signerer regnskapet for det faktum at flyets energilagre forbrukes ettersom energien brukes til å motvirke drag (en fundamentalt dissipativ prosess).

La $ \ delta $ er blitt derivater, delt på $ m_p $ og bruker $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ og erstatte de integrerte variablene med primede mengder,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ kan skrives om i den integrerte formen \ begynn {ligning} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm «} {m_ {p_0} + m»} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr «\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} med integrasjonsgrensene evaluert ved start og den nåværende nedrangeringsposisjonen en avstand $ r $ fra start.

Utfører integrasjonene angitt i ligning ~ $ \ eqref {5} $ og forenkler, vi har resultatet \ begin {ligning} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {ligning} Vi finner at flyets masse, $ m_p $ , er en eksponentielt avtagende funksjon av den avstanden som er fløyet, $ r $ . La $ r = r_m $ være det maksimale planområdet der alt drivstoff er brukt (når $ m_f = 0 $ slik at $ m_p = m_ {p_e} $ ), Eq. ~ $ \ eqref {6} $ blir \ begin {ligning} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {equation} Vi bemerker likheten mellom dette uttrykket og Tsiolkovsky rakettligning .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ kan løses for det maksimale området $ r_m $ \ begin {ligning} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {equation} et utrolig enkelt resultat, alt tatt i betraktning! Dette resultatet forblir gyldig for ethvert aerodynamisk system som oppnår løft via fremoverbevegelse gjennom luften fra et fremdriftssystem som bruker masse for å produsere skyvekraft. Den kan brukes på en Cessna 172, eller til og med en nitrodrevet radiostyrt (RC) modell av en 172. Den kunne ikke brukes på en elektrisk (batteridrevet) modell av 172 fordi det er ingen massetap fra et batteri, eller til hvilken som helst type glider (ingen skyvkraft eller massetap). Og den kan imidlertid brukes på alle fugler som flyr, inkludert papegøyen vår!

For papegøyen er energikilden det fett som er lagret i kroppen. Denne massen forbrukes gjennom metabolske prosesser som omdanner den til $ \ text {CO} _2 $ og vanndamp som blir utvist under respirasjon, og like svette og urin som papegøyen fluer (papegøyen «s» eksos «som det var!). Energiinnholdet i kroppsfett ( $ \ kappa $ som definert i likning ~ $ \ eqref {3} $ ) er 9 (mat) Kalorier per gram. En matkalori er lik en kilokalori som igjen er lik 4184 Joule i SI-enheter, se Wikipedia artikkel Matenergi .

Effektiviteten ved å konvertere lagret energi i menneskekroppen til mekanisk arbeid er estimert til å være $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (se Wikipedia-side Muscle ). Man kan forvente lignende tall for andre varmblods virveldyr, slik at vi til en betydelig figur tar $ \ eta = 20 \% = 0.2 $ (en dimensjonsløs mengde).

Det ser ut til å være et veldig bredt spekter for prosentandelen kroppsmasse som er fett. Noen trekkfugler har opptil $ 70 \% $ (se Overvektige superidrettsutøvere: fettdrevet migrasjon hos fugler og flaggermus , men papegøyen regnes vanligvis ikke som en trekkfugl. Nettsiden Sammenligning av flykilometer for forskjellige vill papegøyearter angir en trekkeavstand på 320 km for tykke fakturerte papegøyer, for eksempel. Derfor er $ 70 \% $ sannsynligvis altfor stort. På den andre ekstremen anses kjøttdeig som magert hvis det inneholder $ 10 \% $ fett, men mer generelt er det nærmere $ 20 \% $ . Vi velger en verdi noe under medianen for disse ytterpunktene, si $ 35 \% $ .

En typisk masse for en papegøye er et annet vanskelig tall å fastslå, som det er en veldig stor forskjell i kroppsmasse for de forskjellige medlemmene av papegøyefamilien. websiden Gjennomsnittlig fuglvekt for vanlige papegøyearter gir data for 52 papegøyearter med lenker til fire andre arter, hver med flere oppføringer. Disse varierer fra 10 gram for Zebra-finken til 1530 gram for Green-winged Macaw som dekker et masseområde på over to størrelsesordener! Resultat: det er ikke noe som heter en «typisk» papegøye! Vi vil velge den tykkfaktrede papegøyen, ettersom vi har noen langdistansedata å sammenligne resultatet med. Wikipedia-siden Tykkfakta papegøye gir masseområdet 315-370 gram, vi skal bruke 370 gram slik at $ m_ {p_0} = 0.37 \, \ text {kg} $ , $ 35 \% $ som skal betraktes som drivstoff slik at $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ etterlater papegøyen «s» tom masse på $ m_ {p_e} = 0.24 \, \ text {kg} $ .

Vi har en gjenværende parameter å estimere, det å være glidevinkel, $ \ alpha $ , brukt til å finne heisen til draforhold over. Vurder størrelsesorden estimater for $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ ca. 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ ca 6 ^ o $ eller $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0.01 \, \ text {radian} \ ca 0.6 ^ o $ . Det er klart at $ 60 ^ o $ er altfor bratt og $ 0.6 ^ o $ er altfor grunt, og $ 6 ^ o $ er den eneste akseptable rekkefølgen på størrelsesvalg, derfor setter vi $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radian, et tall som er gyldig for de fleste flyfugler.

Gjentar Likestilling ~ $ \ eqref {8} $ over, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ høyre) $$ og erstatter papegøyens verdier ovenfra (inkludert enhetsomregningsfaktorer)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ høyre) \ venstre (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ høyre) \ høyre ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ høyre)} \ ln \ left (\ frac {0.37 \, \ text {kg}} {0.24 \, \ text {kg}} \ høyre) \ ca 370 \ text {km} $$

finner vi svaret på spørsmålet «Hvor langt kan en papegøye fly [under kraft] på en enkelt dag?» å være

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a nummer som er i nær samsvar med de (begrensede) tilgjengelige dataene som ga et faktisk (vs maksimum ) daglig migreringsområde på 320 km.

Det interessant å merke seg at dette maksimum -området for motorisert flytur kan sees på som minimum -området når glidflyging er inkludert. Under ideelle værforhold , kunne den faktiske maksimale rekkevidden utvides betraktelig hvis papegøyen skulle utnytte alle tilgjengelige temperaturer den opplevde under flyet.