Superposisjonssetning
« Superposisjonssetningen for elektriske kretser sier at for et lineært system respons (spenning eller strøm) i en hvilken som helst gren av en bilateral lineær krets som har mer enn en uavhengig kilde, er lik den algebraiske summen av responsene forårsaket av hver uavhengige kilde som fungerer alene, der alle de andre uavhengige kildene erstattes av deres interne impedanser . «

Hva slags kretsløp kan løses ved superposisjon?

Kretser laget av noen av følgende komponenter kan løses ved hjelp av superposisjonssetning

• Uavhengig kilder
• Lineære passive elementer – Motstand, kondensator og induktor
• Transformator
• Lineære avhengige kilder

Hva er trinnene for å løse en krets ved hjelp av superposisjonssatsen?

Følg algoritmen:

1. Svar = 0;
2. Velg den første uavhengige kilden.
3. Erstatt alle uavhengige kilder i originalkretsen bortsett fra den valgte kilden med sin interne impedans.
4. Beregn mengden (spenning eller strøm ) av interesse og legg til svar.
5. Gå ut hvis dette var den endelige uavhengige kilden. Ellers Gå til trinn 3 med å velge neste kilde.

Den interne impedansen til en spenningskilde er null, og den for en strømkilde er uendelig. Så erstatt spenningskilde med kortslutning og strømkilde med åpen krets mens du utfører trinn 3 i ovennevnte algoritme.

Hvordan behandles forskjellige typer kilder når løse ved superposisjon?

De uavhengige kildene skal behandles som forklart ovenfor.

I tilfelle avhengige kilder, ikke rør dem.

Superposisjon gjelder bare når du ha et rent lineært system, dvs.:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

I forbindelse med kretsanalyse må kretsen være sammensatt av lineær elementer (kondensatorer, induktorer, lineære transformatorer og motstander) med N-uavhengige kilder, og det du løser for må være enten spenninger eller strømmer. Merk at du kan ta en superpålagt løsning på spenning / strøm for å finne andre størrelser som er ikke lineære (f.eks. spredt kraft i en motstand), men du kan ikke legge på (legge til) ikke-lineære størrelser for å finne løsningen for et større system.

La oss for eksempel ta en enkelt motstand og se på Ohms lov (jeg bruker U og J for henholdsvis spenning / strøm, ingen spesiell grunn) og se hvordan strøm bidro fra kilde \ $ i \ $ påvirker spenningen:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Så jeg kan finne spenningen over en motstand ved å oppsummere det nåværende bidraget fra hver kilde uavhengig av annen kilde . På samme måte for å finne strømmen som strømmer gjennom motstanden:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Men hvis jeg begynner ser man på kraft, gjelder ikke superposisjon lenger:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Den generelle prosessen for å løse en krets som bruker superposisjon er:

1. For hver kilde \ $ i \ $, erstatt alle andre kilder med deres tilsvarende nullkilde, dvs. spenningskilder blir 0V (kortslutning) og strømkilder blir 0A ( åpne kretser). Finn løsningen \ $ F_i \ $, uansett hvilke ukjente du er interessert i.
2. Den endelige løsningen er summen av alle løsningene \ $ F_i \ $.

Eksempel 1

Ta denne kretsen med to kilder:

^{simulere denne kretsen – Skjematisk opprettet ved hjelp av CircuitLab}

Jeg vil løse for den nåværende J som strømmer gjennom R1.

Velg V1 som kilde 1, og I1 som kilde 2.

Løsning for \ $ J_1 \ $ blir kretsen:

^{simuler denne kretsen}

Så vi vet at \ $ J_1 = 0 \ $.

Løser nå for \ $ J_2 \ $ blir kretsen:

^{simuler denne kretsen}

Så vi kan finne at \ $ J_2 = I_1 \ $.

Bruk av superposisjon, \ begynn {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Eksempel 2

^{simulerer th er krets}

Nå er jeg interessert i strømmen gjennom R4 \ $ J \ $. Etter den generelle prosessen som er skissert tidligere, hvis jeg betegner V1 som kilde 1, V2 som kilde 2 og I1 som kilde 3, kan jeg finne:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Dermed den endelige løsningen er: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Kraften til superposisjon kommer av å stille spørsmålet «hva om jeg vil legge til / fjerne en kilde?» Si, jeg vil legge til en gjeldende kilde I2:

^{simulere denne kretsen}

I stedet for å starte forfra fra begynnelsen, er det eneste jeg trenger å gjøre nå å finne løsningen på den nye kilden I2 og legge den til min gamle løsning: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Kommentarer

• Jeg har noen kommentarer som jeg håper vil være nyttige: 1. Jeg finner U og J er noe forvirrende, V og jeg er bedre; 2. Den første ligningen for U skal ikke være summering, da den ' s for i ' kilden alene; 3. De andre summasjonene skal, tror jeg, tas fra i = 1 til N, ikke fra i til N; 4. Superposisjon i kretsteori brukes bare for strøm og spenning, så jeg vil flytte diskusjonen om strøm senere i teksten; 5. I eksemplet som følger den enkle av I1 og R1, skal ikke ' t J3 = -I1 (…), da I1 virker i motsatt retning av J3?
• 1. Jeg valgte å bruke U og J fordi jeg merket kildene mine med V og I, og jeg ville ikke ' ikke forvirring forårsaket av \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Jeg sier klart hva U og J er i håp om å begrense forvirring. 2. Ja, jeg gjorde notasjonen klarere for hva summeringsvariabelen og startindeksen er. 4. Tanken min var å legge all grunnleggende informasjon om når superposisjonsteori før eksemplene. Jeg gjorde eksemplene tydeligere for å skille de to. 5. Ja, det var min feil.