Hvordan kan 64 = 65? (Norsk)

Dette er et kjent fysisk puslespill som kan knyttes til Fibonacci-serier .

For å svare på spørsmålet som er stilt, er problemet at de to bakkene er forskjellige ( $ \ frac25 $ mot $ \ frac38 $ ). Merk at alle disse tallene er i Fibonacci-serien ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Suksessive brøker er nærmere tilnærminger til $ \ varphi $ , vekslende mellom over og under. Diagrammer som dette kan genereres ved å lage en firkant med sider som tilsvarer et tall i Fibonacci-serien (i dette spørsmålet 8), og deretter dele den i to rektangler med bredden på de to Fibonacci-tallene som utgjør den første valgte (3 og 5).

Klipp den minste ned på diagonalen, og klipp den større ned i midten på en diagonal, slik at bredden på diagonalkuttet er det neste minste tallet (2 i dette tilfellet). Merk at dette vil etterlate en trapesform, hvis lille parallelle størrelse samsvarer med den opprinnelige lille rektangelens mindre side (3 i dette tilfellet), og hvis større parallelle størrelse samsvarer med den opprinnelige større rektangelens mindre side (5 i dette tilfellet).

Siden $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , og fra konstruksjonene ovenfor, kan stykkene omorganiseres til et rektangel (som vist), Området som alltid vil være ett unna det opprinnelige torget, men vil se omtrent riktig ut, siden bakkene nesten samsvarer.

Rediger: Siden dette svaret fikk så mange stemmer (takk!), antar at folk er veldig interesserte i det, så jeg trodde jeg skulle tegne noen få bilder!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (OP-eksemplet)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

En kommentar fra @EricJ . førte til en diskusjon som kan være verdt å ta opp her:

Jeg hevder ikke at alle slike gåter er basert på Fibonacci-serien. Bare at alle Fibonacci-tall kan generere disse diagrammene. Det er flere egenskaper ved Fibonacci tall som får dette til å fungere.

1. Den ene er at kvadratet til et Fibonacci-tall veksler mellom å være ett mer og ett mindre enn produktet av tallene på hver side.
2. Det er skråningen jeg nevnte allerede, noe som betyr at konstruksjonen vår vil gi oss to skråninger som er omtrent like. Og
3. Det er et argument for at den totale konstruksjonen kan gjøres basert på at hvert tall er summen av de to foregående.

De to sistnevnte punktene kan best være forstått ved å studere konstruksjonen i detalj. Det første punktet kan bevises ved induksjon:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ for $ k \ geq1 $

Vi indekserer slik at $ f_0 = 0 $ og $ f_1 = 1 $ .

Trinn 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ kan bekreftes ved å erstatte.

Trinn 2 : Anta at det er sant for $ k $ . Så $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Jeg bruker $ \ mp1 $ fordi jeg forventer at den skal veksle, og så i trinn 3 vil jeg bevise det for $ \ pm1 $ )

Trinn 3 : Vi må vise at $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Så her går:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Jeg brukte definisjonen av Fibonacci-serien to ganger ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ og $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) og antagelsen fra trinn 2.

Dette betyr at når du gjør konstruksjonen ovenfor, vil områdene alltid variere med bare 1 (alternerende over og under hver gang).

Kommentarer

• Eksk utmerket svar! Jeg ‘ er kjent med disse gåtene, men har aldri hørt om Fibonacci-forbindelsen. Jeg skjønte ‘ ikke engang at det var en algoritme for å generere slike former.
• Dette er grunnen til at jeg aldri stoler på » bevis ved demonstrasjon » bilder på math.stackexchange.com .
• Etter å ha sett dette spørsmålet, skjønte jeg hvorfor min raskere enn lys-tidsreisende Ferrari 488 ikke ‘ t ganske fungerte (jeg mener, den ‘ d går bakover i tid raskere enn lys Bare fint – men det fortsatte å komme tilbake som en Ford Fiesta!) Og jeg ‘ d BARE blitt ferdig fikse det og lanserte det på en testkjøring når jeg leste dette dumme svaret! Og SÅ kom Ferrari tilbake – men denne gangen kom den tilbake som en sykkel MED EN DINOSAUR RIDT PÅ DET! Så OK, jeg slo dinoen (navnet hans ‘ s Fred, BTW – fin fyr. Morsom ol ‘ ting, livet .. .) med en stekepanne, og nå ‘ skal jeg fikse FTL-motoren på nytt. Så t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Jeg tror han ‘ bare sier at han gjorde noe umulig og nå kan ‘ t lenger fordi det

Diagrammet er misvisende , da det skjuler et gap midt i den andre konfigurasjonen.

Dette er hva vi faktisk får hvis vi omorganiserer de aktuelle figurene. Legg merke til at diagonalen «bukker» litt, og etterlater litt ekstra mellomrom mellom figurene – det er her den ekstra enhetenheten kryper inn.

Men du bør ikke stole på meg mer enn personen som tegnet originalbildet!

Som vi ser her, kan bilder være misvisende – så diagrammet mitt er ikke bevis på at originaldiagrammet var feil. Dette gir bare en intuitiv følelse av hvor den ekstra plassen har kommet fra.

For å få et korrekt bevis, vurder gradientene:

• Gradienten til det blå trapeset er $ 5/2 = 2,5 $
• Gradienten til rød trekant er $ 8/3 = 2.666 … $

Siden gradientene ikke stemmer overens, kan vi ikke ordne dem side om side slik uten noe tomt mellomrom . Men fordi de er nærme, kan øyet bli lurt til å tro at de danner en enkelt kontinuerlig linje, og legger ikke merke til at skråningen i trekanten endrer seg midtveis ned.

Kommentarer

• Jeg elsker disse oppgavene – der ‘ er en god filosofisk moral om ikke å godta ting som de ‘ presenteres til deg.

Bildet til høyre cheats : brikkene ikke egentlig passer perfekt sammen, det er et gap mellom. For å bevise det kan vi beregne størrelsen på gapet ved å beregne størrelsen på en trekant, dannet av:

• den lengste siden av den gule trekanten: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• den skrå siden av trapesformet: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• diagonalen til rektangelet på høyre: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Arealet til denne trekanten kan beregnes ved hjelp av Herons formel:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

hvor

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Å erstatte verdiene i formelen gir nøyaktig 0,5 for $ A $. Det er to slike trekanter, slik at «sa total 1 = forventet avvik.

Det er et misvisende diagram. I virkeligheten stemmer ikke vinklene oppover – den større innvendige vinkelen til den oransje trekanten er omtrent 69,5 grader, mens det er 68.2 for den grå firsiden. (Korriger meg hvis jeg tar feil av å tørke av triggen min her.) I diagrammet med område 65 er de oransje områdene faktisk firkantede. Hvis du ser nøye på, kan du se at de har en liten bøyning der de møter den andre Så det ekstra området kommer fra å utvide dem litt.

Trekantene har ikke samme skråning ; du kan se at den store diagonale linjen gjennom det «større» rektangelet bøyer seg. Det er dekket av de tykke linjene rundt trekantene, men det er et veldig tynt hull som har et samlet areal på ett kvadrat – det samme kvadratet som angivelig «dukket opp fra ingenting».

Bare forstørre bildet og du «ll se svaret.

Enkelt svar :

Disse figurene (i oransje) på høyre side av bildet er ikke trekanter! de er to firkanter. og dermed har de areal større enn visuelt forventet. så det er ingen egenkapital her. De er forskjellige og har dermed forskjellig totalareal.

Bildet av det nederste rektangelet er misvisende, fordi det lurer folk feil antar at bredden på trekanter er nøyaktig 3 enheter.

Den virkelige bredden kan enkelt beregnes – det er en brøkdel av den totale bredden, definert av høyden på punktet på diagonalen, eller nøyaktig 8. / 13. av 5, dvs. 3.076923077 (og ikke 3), qed

Kommentarer

• I følge puslespillets uttalelse er trekanter i begge diagrammene er identiske, og trekantenes form er definert i 8×8-konfigurasjonen til å være nøyaktig tre enheter med åtte enheter. Feilen er godt illustrert i alexwlchan ‘ sitt svar, og matematisk forklart i flere andre: Brikkene ikke ‘ t passer faktisk sammen i 5×13-konfigurasjonen. Der ‘ et tynt trapesformet gap mellom dem, som er skjult av den tykke, svarte og ikke helt rette diagonale linjen tegnet i den originale 5×13-illustrasjonen.