Hvordan kan området være en vektor? (Norsk)

Dette kan være mer et matte spørsmål . Dette er en merkelig ting med tredimensjonalt rom. Merk at et område som et plan i tre dimensjoner er et todimensjonalt underområde. På et ark trenger du bare to tall for å entydig betegne et punkt.

Tenk deg å stå på papiret, retningen hodet peker på vil alltid være en måte å vite hvordan dette planet er orientert i verdensrommet. Dette kalles den «normale» vektoren til dette planet, den er i rett vinkel mot planet.

Hvis du nå velger konvensjonen for å ha lengden på denne normale vektoren lik arealet på denne overflaten , får du en fullstendig beskrivelse av det todimensjonale planet, dets orientering i tredimensjonalt rom (vektordelen) og hvor stort dette planet er (lengden på denne vektoren).

Matematisk kan du uttrykke dette av «kryssproduktet» $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ hvis størrelse er definert som $ | c | = | a || b | sin \ theta $ som er lik arealet av parallellogrammet de til vektorer (som virkelig definerer et plan) spenner. For å stjele dette bildet fra wikipedias artikkel om kryssproduktet:

Som jeg sa i begynnelsen Dette er en veldig spesiell ting for tre dimensjoner, i høyere dimensjoner, det fungerer ikke så pent av forskjellige grunner. Hvis du vil lære mer om dette emnet, vil et nøkkelord være «eksteriøralgebra»

Oppdatering:

Når det gjelder den fysiske betydningen av dette konseptet, er fremtredende eksempler vektorfelt som strømmer gjennom overflater. Ta en sirkulær ledning. Denne sirkelen kan orienteres på forskjellige måter i 3D. Hvis du har et eksternt magnetfelt, kan du vite at dette kan indusere en elektrisk strøm, proporsjonal med endringshastigheten for mengden som strømmer gjennom sirkelen (tenk på dette som hvor mye pilene perforerer området). Hvis magnetfeltvektorene er parallelle med sirkelen (og dermed ortogonale med dens normale vektor) «perforerer» de ikke området i det hele tatt, så strømmen gjennom dette området er null.På den annen side, hvis feltvektorene er ortogonale mot planet (dvs. parallelle med det normale), «perforerer» maksimalt dette området og strømmen er maksimal.

hvis du endrer retningen mellom disse to tilstander du kan få elektrisk strøm.

Kommentarer

• +1 for omtale av magnetfelt. Ikke alle overflatevektorer som brukes i fysikk, er differensielle.
• Takk. Bare noen få avklaringer. Du ba meg om å forestille meg en person som sto på et papir & anser retningen på hodet som representerer den normale vektoren. Men antar at denne personen stod på det motsatte ansiktet, da vant ‘ t papirretningen fortsatt er den samme? Men nå er vektorens retning i motsatt retning. Vennligst presiser.
• For det andre sa du at dette konseptet ikke fungerer ‘ i høyere dimensjoner. Så betyr det at spørsmålet mitt om retningen til en sfære ‘ s område er ugyldig? Hvis ja, er området en skalar i dette spesielle tilfellet, ettersom det å betrakte det som en vektor ikke kan spesifisere orienteringen i rommet? ?
• Det ‘ er ikke tilfredsstillende fordi selv om axb er en vektor, er | axb |, dvs. området, en skalar, derfor er det ikke overbevisende at området er en vektor.

Hovedregimet for bruk er når et område er uendelig lite, som man ville bruk i en integral. I så fall kan vi enkelt se at den er flat, og formen spiller ingen rolle. I så fall kan vi kode informasjonen som en vektor, med størrelsen som representerer (skalar) området; valget (som du lagt merke til) å peke ut fra en gitt side er akkurat det — et valg — men et som kan gjøres konsekvent. Vi kan utvide dette til ikke-uendelige planer, men det fungerer ikke så bra for buede overflater.

For å være presis, er det du virkelig vil ha en medvektor . Dette er en abstrakt gadget som tar en vektor og spytter ut en skalar. For et plan vil du at dette skal representere «mengden» av vektoren som går gjennom planet — så den skal være lineær i vektoren (dobling av vektoren dobler utgangen) og den bør ta hensyn til vinkelen som vektoren treffer den (gir en faktor på $ \ cos $). Nå kan vi stille spørsmålet om hvordan vi representerer denne abstrakte kovektoren, og det viser seg at en vektor er en god idé! Spesielt kan vi representere handlingen som å ta prikkproduktet, som naturlig koder for lineariteten og cosinus. Generelt har dette tilfeldigvis samme antall dimensjoner som en riktig vektor, men dette koder bare et område (en 2D-overflate) i 3D — i 2D vil du få en linje, i 4D et volum (ja! En 4-vektor skjærer et volum på ett punkt!).

Hvis du vil lære mer om denne typen ting, vil du undersøke differensialgeometri, hvor alt det er nødvendig å være klar over denne typen ting og ikke blande sammen vektorer og medvektorer (kalt skjemaer i det feltet). En god lesbar referanse er Gauge Fields, Knots and Gravity som starter fra en grunnleggende oversikt over matematikken og utvikler den til fysisk bruk.

Kommentarer

• I sammenheng med feltteorier, for eksempel med elektromagnetisme, er begrepet » mengden av en vektor (felt ) som går gjennom et plansegment » får navnet flux . Så du kan tenke på at området er preget av en funksjon som kartlegger vektorer (eller et vektorfelt) til strømmen av den vektoren (feltet) gjennom området.
• @luksen boka han nevnte er god for hvilket nivå av matematisk og fysisk kunnskap? For å omformulere, hva er forutsetningene for å begynne å følge boken effektivt? Og er det en utdannet eller lavere bok?

Tenk på kraft er trykk ganger område ($ F = P \ cdot A $). Du vet at trykk er en skalar (det er ingen retning forbundet med det), og en kraft er en vektor (den virker langs en akse). Så hva betyr det for trykk.

Ta et lite område og se det bidrag til den totale kraften på grunn av trykk

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Kraftens retning er normal i forhold til området, og størrelsen er proporsjonal med størrelsen på området. Dette er grunnen til at uendelig minimalt område $ {\ rm d} A $ kan være en vektor. Det er praktisk å tenke på (vektor) = (skalar) * (vektor).

Det er et spesielt pittoresk eksempel på Pythagors-loven i tre dimensjoner brukt på områdene til en simpleks. (Hvor jeg med «simpleks» mener jeg mener en del av rommet avgrenset av tre ortogonale fly og ett vilkårlig fly.) Summen av kvadratene (av områdene) av de tre små ansiktene er lik kvadratet av arealet til det skrå overflaten. Det forklares lett av argumentene for trykk / strømtype som er fremmet i de andre svarene som er lagt ut her, pluss den åpenbare fysiske tilstanden at en uforstyrret væske er i likevekt med seg selv.