Hvordan kan vi forklare at beryllium har positive ladningsbærere som metall (fra Feynman Lectures)?

Forskjellen mellom et metall og en halvleder er at et metall har det øvre energibåndet delvis fylt med elektroner, mens vi i en halvleder skiller valensbåndet, fylt til toppen, og ledningsbåndet som er tomt (ved null temperatur). Det delvis fylte båndet i et metall kalles vanligvis ledningsbånd , men analogien med ledningsbåndet til en halvleder er bare riktig hvis mindre enn halvparten av dette båndet er fylt. På den annen side, hvis mer enn halvparten av dette båndet er fylt, vil elektronene bevege seg i den delen av båndet med negativ krumning, dvs. at deres oppførsel vil være mer som den i hullene i valensbåndet til en halvleder . Jeg vet ikke om dette er tilfellet for Berillium, men jeg tror at svaret fra @Agnius Vasiliauskas gjør dette poenget.

Merknad om båndenergi
For gratis elektroner er energien gitt av $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m}, $$ men for båndelektroner er det ikke tilfelle, siden båndenergien er avgrenset fra bunnen og fra toppen. En god måte å visualisere den på er den endimensjonale stramme bindingsmodell, der $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ der $ 2 \ Delta $ er båndbredden og $ a $ er gitterkonstanten. Når konsentrasjonen av elektronene er lav, er vi berettiget til å utvide denne energien nær dens minimim, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ Vi kan da definere t han effektiv masse $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( effektiv massetilnærming ) og behandle elektroner, som om de var en fri elektrongass.

Men hvis båndet nesten er fylt, er vi mer berettiget i å utvide båndenergien nær toppunktet, $ k = \ pi + q / a $ , med resultatet $$ \ epsilon (k) \ approx \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ I dette tilfellet snakker man om negativ effektiv masse , som fører til den helhetlige oppførselen til konduktansegenskapene.

En annen måte å se på det er ved å merke seg at elektronhastigheten som går inn i uttrykket for strømmen er definert som gruppehastigheten til sannsynlighetsbølgene: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ som gir oss kjent momentum over masse for gratis elektroner $ v (k ) = \ hbar k / m $ , men ser ganske annerledes ut leie for elektroner i båndet, der det kan ta negative verdier (dvs. viser hulllignende oppførsel): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Kommentarer

• Har du noe imot å utdype hvorfor bandet i et metall er buet i utgangspunktet? Det virker for meg at det er to måter å beskrive det på: via elektrongass som beskrevet av @Agnius Vasiliauskas og via båndstruktur, og jeg ser ikke ‘ hvordan de overlapper
• @fruchti Jeg har lagt til mer materiale. Det er egentlig for kort til en introduksjon til bandteorien, men jeg håper det vil hjelpe.

Som positive ladningsbærere kan være hull og ioner. Hvis du tar en titt på de første ioniseringsenergiene til metaller:

Du vil se at den minste første ioniseringsenergien $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ har Alkali-metallgruppe :
litium (Li), natrium (Na), kalium (K), rubidium (Rb), cesium (Cs), francium (Fr).
Jordalkalimetallgruppe har første ioniseringsenergier mellom $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {ionization}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Til denne gruppen tilhører:
beryllium (Be) , magnesium (Mg), kalsium (Ca), strontium (Sr ), barium (Ba), radium (Ra).
Lav ioniseringsterskel i alkaliske og alkaliske metaller kan sees på som en god støtte for større konsentrasjon av frie elektroner i slike metaller, og dette innebærer større konsentrasjon av positive ladninger – hull & ioner i dem også, for når atom er ionisert – løst koblet elektron blir fjernet fra det og blir et fritt elektron, blir atom dermed positivt ladet ion, eller med andre ord – på et sted der elektron var før, nå er det et hull, $ 𝑒 ^ + _ Ø $ kostnad.

EDIT

Når det gjelder hvorfor i dette tilfellet positive ladninger er hovedladningsbæreren, – jeg vet ikke den eksakte årsaken, men min fysiske intuisjon forteller dette. Ifølge kinetisk teori om gasser, betyr fri bane for partikkel er definert som: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ For $ \ pi d ^ {2} $ kan du tre i kraft tverrsnittsareal for fri elektron-atomkollisjon. Og fordi frie elektroner danner en Fermi-gass, for trykk kan du ta elektrondegenerasjonstrykk, som er: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

der $ n $ er fri elektronantetthet.

Så når talltettheten øker (som den gjør, i disse lett ioniserbare materialene), øker også degenerert elektrongasstrykk. Når fermi-gasstrykket øker, reduseres den frie elektronveien – noe som betyr at for større elektronkonsentrasjoner er det mye vanskeligere å bevege seg fritt for dem. Derfor, fordi hull er bundet til et atom og ikke er et emne for atomspredningseffekter – reagerer de på Hall-effekten mer jevnt. Det er min 2 cent gjetning.

Kommentarer

• Kan du gå nærmere inn på hvordan en større konsentrasjon av frie elektroner fører til en større konsentrasjon Hvis vi har nok av begge deler, hvorfor transporterer hullene ladningene, ikke elektronene?
• Jeg ‘ har endret svaret mitt .
• Hvis jeg forstår argumentene dine godt, vil du forutsi en positiv Hall-koeffisient for alkhalimetallene? Men dette er ikke det som observeres. Jeg er også forbauset over å lese at hull er bundet til et atom. Kan du forklare mer detaljert hva du har i tankene?
• Jeg mener hull er ikke som frie elektroner. Gratis elektroner er ikke bundet til noe atom, men hull er , kan de bevege seg mellom atomer, men de kan ‘ t forlate et hvilket som helst atom, fordi per definisjon bor bor på et sted der elektron ble bundet til et atom.
• Da synes jeg dette er feil. Hva med min første kommentar, gjør du svaret ditt innebærer en positiv Hall-koeffisient for alkhalimetaller?

Ziman tilbyr løsningen i «Elektroner i Metaller: En kort guide til Fermi Surface «, i del III.

Det korte svaret er «på grunn av samspillet mellom elektronene og gitteret.»

Dette innebærer at den frie elektronmodellen (som fører til en sfærisk Fermi-overflate) ikke er i stand til å forklare denne oppførselen.

Det litt mer involverte svaret kan være: Hvis det ikke var noen interaksjon mellom frie elektroner og gitteret, ble Fermi-overflaten (bestemt av $ E (\ vec k) $ ) ville være en perfekt sfære og hastigheten til elektronene som bidrar til ledning ville være parallell med (krystall) momentum $ \ vec k $ og det er alltid normalt for Fermi-overflaten.Tilstedeværelsen av gitteret endrer imidlertid formen på Fermi-overflaten (forvrenger den) slik at hastigheten til (kvasi) elektroner, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ , kan endres alvorlig på grunn av samspillet mellom elektronene og gitteret, noe som gjør at de har en hastighet som ikke er parallell med krystallet momentum, men likevel vinkelrett på Fermi-overflaten.

Nå når et elektrisk felt påføres vinkelrett på et magnetfelt (Hall-effekt), vil elektronene være under en Lorentz-kraft. Ved å kombinere Lorentz-kraften med hastighetsformelen som er skrevet ovenfor, kommer man til den konklusjonen at det er som om noen av elektronene hadde en negativ effektiv masse. Disse kan betraktes som «hull».

Dette argumentet kan brukes til å forklare hvorfor Be, Zn, Cd, Sn og Pb viser positive Hall-koeffisienter til tross for at de er «metaller».