Det er kjent at en standard multivariat brownian bridge $ y (\ mathbf u) $ er en sentrert gaussisk prosess med kovariansfunksjon $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Jeg er ikke sikker på hvordan jeg skal konstruere en slik multivariat brownian bridge.
Min første tanke var å starte på en eller annen måte med en univariate Brownian bridge. Jeg har funnet informasjon om det og til og med en pakke i R som kan gjøre dette, men bare for den univariate Brownian-broen.
Jeg fant dette , men slik jeg forstår det, er det som er gjort der ikke en standard multivariat brownian bro som definert ovenfor eller f.eks. i denne artikkelen .
Jeg vil sette pris på alle tips og støtte.
Kommentarer
- Som jeg fant ut i Deheuvels papir link er det følgende forhold mellom en Brownian Bridge $ B_t $ og en Brownian Sheet (eller Wiener Sheet) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Så jeg tror problemet reduseres til å simulere et brownian ark. Jeg vil stille spørsmålene mine om dette i et separat spørsmål.
- korreksjon, forholdet for flere dimensjoner er $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Relatert: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Svar
Som du allerede påpekte ut i kommentarene, reduseres spørsmålet til å simulere et brownian ark. Dette kan gjøres ved å generalisere simulering av bruniansk bevegelse på en grei måte.
For å simulere den bruniske bevegelsen kan man ta en i.i.d. gjennomsnitt-0 varians-1 tidsserie $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , og konstruer den normaliserte delsummeprosessen $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ svak konvergens (i følelsen av Borels sannsynlighetsmålinger på et metrisk mellomrom) til standard brownian $ B $ på Skorohod-rommet $ D [0 , 1] $ .
Iid med endelig andre øyeblikk tilfelle er den enkleste måten å simulere. Det matematiske resultatet (Functional Central Limit Theorem / Donskers Theorem / Invariance Principle) holder i mye større generalitet.
Nå for å simulere (si todimensjonalt) Brownian-ark, tar det middel-0 varians -1 array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , og konstruer den normaliserte delsummeprosessen $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ svak konvergens til det standardbrune arket på Skorohod-rommet $ D ([0,1] ^ 2) $ på enhetsplassen .
(Beviset er et standard svakt konvergensargument:
-
Konvergens av endelig dimensjonsfordeling følger av Levy-Lindeberg CLT.
-
Tetthet på $ D ([0,1] ^ 2) $ følger av en tilstrekkelig øyeblikkelig tilstand som holder trivielt i i.i.d. endelig andre øyeblikkssak — se f.eks. Bickel og Wichura (1971). )
Deretter, ved kontinuerlig kartleggingssetning $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ konvergerer svakt til den todimensjonale Brownian-broen.