Jeg har fått et spørsmål om 1976 Black Model og Bachelier-modellen.
Jeg vet at en geometrisk brownian-bevegelse i P-målet $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ for en aksjekurs $ S_ {t} $ fører (etter endring av mål) til Black- Scholes-formel for et anrop:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Hvor $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ og $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Jeg vet faktisk ikke hvordan det er mulig å få den berømte svarte formelen på en terminkontrakt:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
hvor nå $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ og $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Skal jeg bare sette inn $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ i den første BS formel for å få den andre?
Jeg spør dette fordi jeg har prøvd å utlede BS-formelen ved hjelp av en aritmetisk brownian-bevegelse som $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a og jeg får:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
der $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ og $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ og husk at $ N (d) $ og $ n (d) $ er CDF og PDF.
men den forrige erstatningen $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ ser ikke ut til å føre til det kjente resultatet $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
hvor nå $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Jeg tror jeg kunne nå ligningene fremover både i det geometriske brun bevegelse og aritmetisk brun bevegelse ved hjelp av ligningene
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ og $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ men jeg don » ikke vet hvordan rettferdiggjør bruken av dem.
Kommentarer
- @Macro Velkommen til Quant. S.E.! Vil du prise bare videresendekontrakt eller opsjon på terminkontrakt?
- Hei Neeraj, takk for svaret. Jeg ' ønsker å prise et alternativ på terminkontrakt!
- Bare bytt ut $ S_0 $ med $ F e ^ {- rT} $ i den opprinnelige BS-formelen eller du kan bruke risikonøytral tilnærming. Begge vil føre til samme verdsettelsesformel.
- Ok, takk. Men kan jeg gjøre det samme for ABM? Fordi jeg ikke kan ' ikke få resultatet når jeg gjør denne byttingen.
Svar
Europeisk alternativ i fremtiden
For å prise European Option on Future, trenger du bare å erstatte $ S_0 $ med $ Fe ^ {- rT} $ i den opprinnelige BS-formelen, eller du kan bruke risikonøytral tilnærming. Begge vil føre til samme verdsettelsesformel.
Amerikansk opsjon i fremtiden
Ovenstående prosedyre kan ikke brukes til å prise amerikansk opsjon i fremtiden. I et papir, Verdsettelsen av opsjoner på fremtidige kontrakter av Ramaswamy , uttalte at
Det er ingen kjent analytisk løsning på verdsettelsen av amerikansk opsjon på fremtidig kontrakt.
Forfattere brukte implisitt endelig forskjellsmetode for å prise amerikansk opsjon på fremtidig kontrakt.
Edit: Derivasjon av pris på europeisk opsjon på fremtidig kontrakt
Under risikonøytralt mål, fremtidig pris, $ F_t $ tilfredsstille følgende SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ hvor, $ W_t $ er en Wiener-prosess. Det kan enkelt vises at: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Prisen på opsjonen på fremtidig kontrakt $ (C_t) $ under risikonøytralt mål er: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Du kan enkelt løse ovennevnte uttrykk for å få prisen på opsjonen skrevet på fremtiden. Fordelingen av $ F_T $ er veldig lik $ S_T $ (se dette svaret) . Hvis du bytter ut $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , får du den samme fordelingen av $ S_T $ som under risikonøytralt tiltak. Dette er grunnen, for å få prisen på alternativet i fremtiden, erstatter vi $ S_t $ med $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ i BS-modell av europeisk pris for kjøpsopsjon.
Kommentarer
- Hei Neeraj, faktisk jeg ' ønsker å prise et europeisk alternativ som starter fra en ABM.
- @Marco vennligst sjekk rediger svaret.
Svar
Her «er en enkel måte å få prisen på samtalen til den videre prisen ved hjelp av risikonøytral prising.
Anta at vi har et europeisk anrop som betaler til $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , der $ T ^ * \ geq T $ . Anta videre at rentene er konstante og er representert av « $ r $ «. La $ c ^ {For} (t, s) $ være prisen for samtalen der $ S (t) = s $ .
Så hvis aksjen ikke gir utbytte:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Ved replikering kan den vises, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , og
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Du bør umiddelbart legge merke til siden renten er konstant, og dermed deterministisk, kan vi trekke « $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ » term ut av forventning:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Dermed er dette nå proporsjonalt med Black Scholes-anropsprisen med streik $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , der $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
også:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Dette er den «berømte svarte formelen på en terminkontrakt». Jeg håper dette hjelper!
Vær oppmerksom på at terminkursen og prisen på terminkontrakten ikke er den samme. Prisen på terminkontrakten på tidspunktet 0 er 0, men kan endres, terminkursen er prisen du godtar å betale ved levering.
Hvis du er nysgjerrig på hva det ville være om det var en samtale på futures-prisen i stedet for en samtale på forward-prisen, hevder jeg at hvis ikke aktiva-prisen er korrelert med renten, er de de samme ellers ville det være arbitrage (under forutsetninger om ingen motpartsrisiko, etc.). Jeg oppfordrer deg til å prøve å vise dette.
(PS Til svaret fra de forrige kommentarene om at det ikke er noen formel for et amerikansk alternativ på terminkursen, hindrer dette oss ikke i å bruke Monte Carlo!)