Hvorfor er det elektriske feltet null der potensialflater krysser hverandre?

Først av alt, la oss rense luften med et enkelt eksempel som viser ønsket oppførsel (og som i det vesentlige er isomorf i de fleste ikke-små tilfeller). spesielt følgende krav:

Potensialet $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ er et helt gyldig elektrostatisk potensial, og det kan veldig naturlig sees på å ha to ekvipotensielle overflater ($ yz $ -planet og $ xz $ -planet) som krysser langs en linje.

Det eksemplet kan være skurrende til den vanlige intuisjonen at ekvipotensielle overflater, som feltlinjer, aldri krysser, men det sjekker perfekt ut – og det stemmer overens med professorens påstand om at det elektriske feltet $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes ved krysset $ x = y = 0 $.

(For de som ønsker å utvide konvolutten litt lenger: dette generaliserer naturlig til skjæringspunktet til et hvilket som helst antall $ n $ av ekvipotensielle flater langs en linje, ved å bare endre til $ n $ -polærpotensialet $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Så, hva skjer, eller hvordan gir vi noe ekte matematisk kjøtt til utsagnet?

Vel, la oss starte med å definere ekvipotensielle overflater: en overflate $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ til \ mathbb R ^ 3 $ er en ekvipotensial av det elektrostatiske potensialet $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ er konstant for alle $ (u, v) \ i D $. Videre vet vi at når som helst $ \ mathbf r = S (u, v) $ på overflaten, det elektriske feltet $ \ mathbf E = – \ nabla V $ har et null indre produkt med en hvilken som helst vektor som ligger inne i tangensplanet $ TS_ \ mathbf r $ til overflate ved $ \ mathbf r $, som en konsekvens av å ta kurver $ \ gamma: (a, b) \ til D $ og differensiere konstantitetsforholdet $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ med respekt til parameteren $ t $, og gir $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ for alle vektorene $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Siden dette planet er todimensjonalt og rommet er tredimensjonalt, slutter vi at det er en unik normal retning $ \ hat {\ mathbf n} $ til overflaten og at $ \ mathbf E $ trenger å være parallell med det normale (eller muligens null), men kjerneresultatet er at $ \ mathbf E $ «s-komponent i en hvilken som helst retning inne i tangentplanet må forsvinne.

OK, så la oss nå opp ante og vurdere to forskjellige overflater $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, som på et tidspunkt krysser $ \ mathbf r_0 $, og la oss også bestemme at begge overflater er ekvipotensialer på $ V $.

Rett utenfor flaggermusen kan vi slutte at potensialet på alle punkter på begge overflatene må være lik samme konstant, fordi $ V = V (\ mathbf r) $ er en (enkeltverdi ) funksjon. Hvis den tilsvarer $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ for $ \ mathbf r_0 \ i S_1 $, må den være lik $ V_1 $ i hele $ S_1 $ – men $ \ mathbf r_0 $ er også i $ S_2 $, så $ V $ må også tilsvare $ V_1 $ i hele $ S_2 $. Dette er sannsynligvis det professoren din snakket om i påstanden om at du rapporterer som

Han hevdet også at to ekvipotensielle overflater ikke kan krysse ettersom det ville gi to forskjellige potensialer på samme punkt,

men som ganske sannsynlig var mye nærmere

to ekvipotensielle flater med et annet potensial kan ikke krysse hverandre, da det vil gi to forskjellige potensialer på samme punkt.

Det er den enkle biten.La oss nå si noe ikke-trivielt: hva med det elektriske feltet i krysset?

La oss begynne med den enkle saken først, skjønt, og anta at ekvipotensialene har en riktig dimensjon – ett kryss langs en kurve, noe som innebærer at tangentplanene til de to overflatene på et hvilket som helst punkt $ \ mathbf r $ langs krysset vil krysse hverandre på en linje, og hver av dem vil ha en separat, lineær uavhengig retning som ikke tilhører den andre plan.

Dette lar oss så hente inn verktøyene vi utviklet tidligere: vi vet at $ \ mathbf E $ må ha forsvinnende indre produkt med en hvilken som helst vektor som ligger inne i begge tangensplanene, bortsett fra at har tre lineært uavhengige vektorer $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ og $ \ mathbf e_3 $ å forsvinne mot, en langs krysset og en annen uavhengig vektor langs hvert plan. Den eneste måten at en hvilken som helst vektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ kan tilfredsstille $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ for lineært uavhengig $ \ mathbf e_i, $ er for $ \ mathbf v = 0 $ . Det er her professorens påstand kommer fra.

Til slutt, la oss ta for oss det litt mer patologiske tilfellet du nevner på slutten av spørsmålet ditt:

Hvorfor kan det ikke bare være to forskjellige ekvipotensielle overflater med samme potensial som […] berører?

Dette er ikke et dårlig spørsmål, og svaret er egentlig at dette kan skje, men omstendighetene der det skjer er så patologiske at vi for det meste er klare til å kaste babyen ut med Når vi sier «to overflater krysser», mener vi normalt at de har et dimensjon-ett skjæringspunkt langs en kurve. Hvis vi vil la overflatene berøre, eller ha en lignende patologisk oppførsel, vil vi eksplisitt merke oss at . (Matematikere er litt mer forsiktige med språket, men så igjen gjør fysikere mer interessante ting, og du kan ikke kaste bort tid på å fikle med mindre detaljer.)

Uansett, hvis du vil ha et potensiale med to potensialer som berøring på et enkelt punkt, det reneste eksemplet jeg kan tenke meg er $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ hvor potensialet $ V (\ mathbf r) = 0 $ er to sirkulære paraboloider som berører toppen. Dette er ikke en løsning av Laplace-ligningen, noe som betyr at det ikke er et rimelig potensial i ledig plass, men du kan bare angi ladetettheten $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, og du vil få en rimelig fordeling. Hvis du vil spare på det, er det bedre å velge $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ som ladetettheten $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ er ekstremt rimelig, og som bytter ut en av paraboloidene for $ z = 0 $ -planet.

Nå, for begge disse eksemplene, har et ganske høyt ordens polynom som potensial, og det elektriske feltet forsvinner ved krysspunktet for ekvipotensialet. Hvis du vil ha noe med å berøre ekvipotensialer og et ikke-null elektrisk felt der, er det nærmeste jeg kommer på en ren måte å kombinere de to eksemplene ovenfor, og gi tre ekvipotensialer (de to paraboloidene og $ xy $ -planet) møte på et punkt, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ med $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ avhengighet langs $ z $ aksen, og deretter faktorere det ved å ta en kubarot, gi $$ V (x, y, z) = \ venstre [\ venstre (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ som har samme berørende ekvipotensial som ovenfor, men nå har den et konstant elektrisk felt $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ på alle poeng $ (0,0, z) $ med $ z \ neq 0 $. Dessverre kan du imidlertid «t virkelig konkludere med at det elektriske feltet der er null, fordi grensene til $ \ mathbf r \ to0 $ langs $ z $ aksen og langs $ xy $ planet ikke «pendler ikke – og faktisk, $ \ nabla V $ divergerer overalt på $ xy $ -planet.

Jeg tegner her det ekvipotensielle landskapet når det kuttes langs $ xz $ -planet, for å gi en ide av den type patologiske struktur som du vil bli presset til ved å vurdere denne typen saker:

^{Kilde: Import [« http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m «] [« http://i.stack.imgur.com/0snLs.png «]}

Den skarpe klippen vender mot ekvipotensialet i 3D-visningen på $ V (x, 0, z) $ er tydelige markører for det faktum at det elektriske feltet er uendelig overalt på $ V = 0 $ ekvipotensialer, med det eneste unntaket for opprinnelsen når det nærmer seg fra $ z $ aksen. / p>

Uansett, det er den typen pris du må betale for å ha e-potensialer som berører uten at det krever et nullfelt på berøringspunktet for å holde alt pent og glatt. Generelt sett kaster du bare disse sakene ved dekret ved å kreve et vanlig kryss.

Elektrisk felt er definert som (negativ) gradient av elektrostatisk potensial.Det kan derfor ikke være noe elektrisk felt langs linjen / overflaten definert av en ekvipotensial.

Det betyr at det eneste elektriske feltet som er tillatt på et punkt på en ekvipotensial, må være vinkelrett på ekvipotensiell overflate, ellers ville den ha en ikke-null komponent langs overflaten.

Hvis det er to forskjellige kryssende ekvipotensialer, er det eneste gyldige elektriske feltet null, siden ethvert felt som ikke er null, vil ha et ikke -nullkomponent langs minst en av ekvipotensialene.

Et unntak ser ut til å være der ekvipotensialflatene er parallelle i skjæringspunktet.

Kommentarer

• Jeg ‘ har prøvd, og hittil mislyktes, å produsere et potensial med potensial som berører på et enkelt punkt med parallelle normaler og som likevel produserer en ikke-null elektrisk felt der. Kan du se gjennom den?
• @ Rob klør det, jeg fant et eksempel – men det ‘ er ikke akkurat den enkleste funksjonen jeg ‘ har noen gang sett. Jeg mistenker at man kan vise at berøring av ekvipotensialer med et ikke-null elektrisk felt krever den slags patologiske atferd, men jeg ser ikke ‘ hvordan du ‘ d bevise at (eller, faktisk, hvorfor du ‘ bryr deg nok til å bruke mye tid på å prøve å gjøre det).

To ekvipotensielle overflater kan ikke krysse hverandre. Retningen til det elektriske feltet når som helst på en ekvipotensiell overflate er vinkelrett på overflate på det punktet. Hvis to ekviposensielle overflater skjæres, ville det elektriske feltet ved skjæringspunktene være vinkelrett på både den første og andre overflaten på disse punktene … med andre ord, hvis to ekvipotensielle overflater kunne krysse hverandre, du ville ha det elektriske feltet som peker i to retninger ved hvert skjæringspunkt … den ene peker vinkelrett på den første overflaten, den andre peker vinkelrett på den andre overflaten. Dette er umulig.

Kommentarer

• Med mindre feltet er null i skjæringspunktet?
• Det potensielle $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ er et helt gyldig elektrostatisk potensial, og det kan veldig naturlig sees på å ha to ekvipotensielle overflater ($ yz $ -planet og $ xz $ -planet) som krysser langs en linje. li>
• Veldig interessant … Jeg ‘ jeg må trekke ut Griffith ‘ s bok over helgen og gjøre litt gjennomgang … Haven ‘ t studerte elektrostatikk siden jeg ble uteksaminert i mai.

For hvis de krysser seg, er retning av det elektriske feltet tvetydig, så det er ikke mulig.

Kommentarer

• Entydig ? Hvorfor er det et problem?
• Ja, det er tvetydig ikke entydig som svaret ditt sier.

Han hevdet også at to ekvipotensielle overflater ikke kan krysse hverandre, da det ville gi to forskjellige potensialer samtidig punkt.

Vurder det elektriske feltet og ekvipotensielle overflater til en elektrisk dipol

Bildekreditt

Ingen av de ekvipotensielle overflatene krysser hverandre. Også, overflatenes tetthet er størst langs linjen mellom og gjennom de to ladningene.

Vurder nå disse potensialflatene i grensen til en ideell elektrisk dipol.

Bildekreditt

For konstant dipolmoment, må (pluss / minus) ladningen øke når separasjonsavstanden reduseres, tettheten av de potensielle flatene langs linjen gjennom overflaten må avvike i grensen; det ser ut til at alle de ekvipotensielle overflatene må krysse på stedet for den ideelle dipolen og det elektriske feltet er entall der.

Kommentarer

• Jeg forstår poenget ditt, siden kulene ikke er ekvipotensielle, er det ikke åpenbart at det er uendelig mange potensialekspanser som går gjennom kontaktpunktet … Jeg vet ikke ….
• @ValterMoretti, OK, så to ikke-ledende kuler, hver med fast, jevn ladetetthet til motsatt tegn og identiske radier og symmetrisk plassert over og under xy-planet langs z-aksen, men ikke berører planet. Dette lukter som en metode for bilderypeproblemer, og i så fall er x-y-planet nullpotensialoverflaten?Da omslutter de positive (negative) potensialflatene den positivt (negativt) ladede sfæren, og når kulene bringes nærmere, blir disse flatene ‘ klemt ‘ sammen langs linjen gjennom midten av kulene som endelig berører hverandre?
• Vel, nå tror jeg at ekvipotensielle overflater som er forskjellige fra skilleplanet kommer inn i (ikke-ledende) kuler og mitt eksempel ikke arbeid: når kuler berører hverandre, er det bare en potensialutvikling gjennom kontaktpunktet. Så eksemplet mitt fungerer ikke.
• @ValterMoretti, jeg lurte bare på om ekvipotensialet kunne komme inn i kulene, og jeg begynte å se gjennom Jackson da kommentaren din kom inn.
• Ja den ekvipotensielle overflater må komme inn i kulene: ta et hvilket som helst punkt inne i venstre sfære, der forsvinner det elektriske feltet på grunn av selve kulen. Det elektriske feltet inne i feltet til venstre sfære skyldes derfor helt høyre sfære, og det er det samme som for en punktladning som er sentrert utenfor venstre sfære. Det er tydelig at de ekvipotensielle overflatene kommer inn i venstre sfærer på denne måten. Jeg tenkte her på overfladisk ladede kuler! Hvis ladningen er i volum? Jeg vet ikke