Jeg gjorde dette spørsmålet for å beregne det elektriske feltet på et bestemt punkt i en sfære (lengde $ r $ unna sentrum), hvor ladetettheten er gitt ved ligning. Da jeg sjekket løsningen på dette spørsmålet, ble det sagt å beregne elementladning $ dQ $ for kuleformatets volum $ dV $, ved hjelp av ladetetthetsligningen. Det står at volumet mellom to konsentriske skall i sfæren, på avstander $ r $ og $ r + dr $ er
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Nå, hvorfor er dette lik $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Kommentarer
- Den heuristikken som brukes i denne beregningen er at , siden $ dr $ er veldig liten, kvadratisk eller kubert, gjør det den mye mindre. Derfor er begrepene $ 3rdr ^ 2 $ og $ dr ^ 3 $ ubetydelige og kan bare droppes.
- Dette har absolutt ingenting å gjøre med fysikk! Vennligst spør på en matematikk q & et nettsted. Egentlig @sourisse ga deg det riktige svaret.
- Jeg tror dette er ganske relevant for fysikk faktisk, det er en tilnærming / metode / verktøy som brukes mye i fysikk, f.eks. elektrostatikk, gravitasjon, solid state etc etc etc
- BTW du kan også tenke på $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ som volumet til et sfærisk skall med radius $ r $ og tykkelse $ dr $ – bare overflate område multiplisert med tykkelse
- @FraSchelle Jeg tror at hvis du spurte dette om matematikk.stackexchange, ville du bli ledet hit …
Svar
Sourisses kommentar svarer på spørsmålet ditt, men bare for ordens skyld vil jeg utvide det her som et Wiki-svar. Merk at dette er et fysikers svar – alle matematikere som er til stede, vil være lurt å avverge blikket nå.
Husk at når vi sier at volumelementet er:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Vi snakker om grensen der $ dr \ rightarrow 0 $. Hvis $ dr $ er ekstremt liten, så $ dr ^ 2 $ er ekstremt ekstremt liten og $ dr ^ 3 $ er ekstremt ekstremt liten. Så i grensen på $ dr \ rightarrow 0 $ kan vi ganske enkelt ignorere de høyere kreftene og hele ligningen din blir til ligning (1).
Kommentarer
- Herre dette er det samme som ble lært for oss, men er det noen måte å bruke vilkårene $ (dr) ^ 2 $ eller noe høyere kraft i beregning eller integrering? Tusen takk!
Svar
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differensiering med hensyn til $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Kommentarer
- rett på! dette er typen elem entary " trick " for ofte glemt. Synd at du kan ' ikke får $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ faktor fra $ 4 \ pi $ på denne måten.