Hvorfor er gravitasjonspotensial energi negativ, og hva betyr det?

Om negative energier: de setter ikke noe problem:

I denne sammenhengen har bare energiforskjeller betydning. Negativ energi dukker opp fordi når du «har gjort integrasjonen, har du satt et punkt der du setter din energi til 0. I dette tilfellet har du valgt at $ PE_1 = 0 $ for $ r = \ infty $. Hvis du har satt $ PE_1 = 1000 $ til $ r = \ infty $, var energien positiv for noen r .

Imidlertid er minustegnet viktig, da det forteller deg at testpartikkelen mister potensiell energi når flytter til $ r = 0 $, dette er sant fordi det akselererer og forårsaker en økning i $ KE $:

la oss beregne $ \ Delta PE_1 $ for en partikkel som beveger seg i retning av $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ og $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

som forventet: vi taper $ PE $ og vinner $ KE $.

Andre punkt: ja, du har rett. Imidlertid er det bare sant HVIS de er punktpartikler: har de normalt en bestemt radius, kolliderer de når $ r = r_1 + r_2 $, forårsaker en elastisk eller uelastisk kollisjon.

Tredje kule : du har rett med $ PE_2 = mgh $, men igjen velger du en gitt referanse: du antar $ PE_2 = 0 $ for $ y = 0 $, noe som på forrige notasjon betyr at du satte $ PE_1 = 0 $ for $ r = r_ {earth} $.

Det mest jeg viktig forskjell nå er at du sier at en økning i h beveger seg lenger i r (hvis du er høyere, er du lenger fra jordens sentrum).

Ved å gjøre analogien til det forrige problemet, forestill deg at du vil få $ \ Delta PE_2 $. I dette tilfellet begynner du på $ h_i = 10 $, og du vil flytte til $ h_f = 1 $ (beveger deg i retning av jordens sentrum, som $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Som forventet, fordi vi faller, mister vi $ PE $ og å vinne $ KE $, det samme resultatet har $ PE_1 $

Fjerde punkt: de representerer begge det samme. Forskjellen er at $ gh $ er den første termen i Taylor-serien av utvidelsen av $ PE_1 $ nær $ r = r_ {Earth} $. Som øvelse, prøv å utvide $ PE_1 (r) $ i en taylor-serie, og vis at lineær betegnelse er:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

De beregner numerisk $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (husk at $ m = m_ {earth} $). Hvis du ikke har laget dette allerede, antar jeg at du vil bli overrasket.

Så fra det jeg forstått, er logikken din helt korrekt, bortsett fra to viktige punkter:

• energi er definert bortsett fra en konstant verdi.

• i th e $ PE_1 $, økning r betyr reduksjon $ 1 / r $, som betyr økning $ PE_2 = -Gm / r $. I $ PE_2 $, økning h betyr økning $ PE_2 = mgh $.

Kommentarer

• Ah, jeg skjønner, trikset er at det ‘ en relativ verdi – Jeg fortsetter å tenke på energi som noe absolutt (selv om jeg antar at kinetisk energi endres, avhengig av referanserammen din) . Jeg antar at vi ‘ d liker å sette PE = 0 når r = 0, men dessverre, ifølge ligningen vil det ta uendelig energi å trekke partiklene fra hverandre! Så jeg antar at PE = 0 når r = ∞ er det eneste andre rimelige valget. Alt er fornuftig nå – takk!
• Formelen endres også i en ikke-punktmasse, så $ r \ til 0 $ -grensen er endelig.

Jeg vil først (1) oppsummere forskjellene mellom definisjonene av PE1 og PE2, og deretter vil jeg (2) likestille de to.

(1) For det første, som dette svaret på «Hvorfor er gravitasjonsenergi negativ?» sier , PE1 definerer den potensielle energien til en kroppsmasse m i gravitasjonsfeltet til en masse M som energien (arbeidet) som kreves for å ta den fra sin nåværende posisjon $ r $ til uendelig. PE1 antar at $ r = \ infty $ er $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2, derimot, er definert som det negative av arbeid utført av tyngdekraften for å løfte en massemasse m fra overflaten til en planet til en høyde h over planeten.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 har en annen referanseramme enn PE1 , da det antar $ PE = 0 $ ved $ r = R $, eller på overflaten av planeten. Også, og veldig viktig, brukes PE2 bare når et objekt er nær overflaten til en planet , når $ h < < < R $ (R er radius av planeten) og g kan antas å være konstant:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, nå videre til å likestille de to. Selv om referanserammene for PE1 og PE2 er forskjellige, bør $ | \ Delta PE | $ mellom to punkter helt sikkert være de samme. La oss si for eksempel at de to punktene er planetens overflate og høyde h over planeten.

PE1 sier $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 sier $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

og fordi $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

Og dermed representerer PE1 og PE2 begge den samme energiformen, men vi må huske referanserammene og bruksbetingelsene når vi bruker dem.

Håper dette hjelper !! Fred.

Det er fordi gravitasjonskraft er attraktiv og arbeid utføres av selve gravitasjonskraften. Når systemet fungerer, er energi tatt som negativt, og når arbeid utføres av ekstern byrå med systemenergi, er det som positivt.

Jeg tror det bare er en preferanse.

Vi kan se gravitasjonens potensielle energi som positiv , som representerer energien «investert» i vår posisjon i forhold til et massivt objekt. Vi kan «gjenvinne» den energien (øke kinetisk energi) ved å bevege oss nærmere objektet, på hvilket tidspunkt vi har senket mengden energi vi kunne få ved å bevege oss lengre.Så potensiell energi avtar når vi beveger oss nærmere (nærmer oss null energi på null avstand), øker når vi beveger oss lenger bort, og summen av PE og KE er konstant.

Men hvilken verdi er konstanten? Når vi er veldig langt borte fra det massive objektet, bør vi ha veldig veldig potensiell energi. Men selv når vi «er ganske nær den massive gjenstanden, er vi» veldig langt borte fra alle andre massive objekter i universet, og bør derfor ha veldig veldig store gravitasjonspotensialenergier i forhold til alle disse objektene. Vi kan omtrent beregne en verdi for KE + PE ved å ta i betraktning bare de mest relevante objektene (de nærmeste og / eller største), men den omtrentlige verdien vår bare vokser og vokser og vokser når vi prøver å få mer nøyaktige tilnærminger ved å inkludere mindre og mer -distanserte objekter i vår kategori av «relevante» objekter. Så vår KE + PE-konstant er en umulig stor verdi vi aldri kan beregne eller estimere som en spesifikk verdi. På noen måter betyr det ikke saken at vi aldri kan kreve en verdi, siden forskjeller av energier er alt vi virkelig trenger å jobbe med, og vi kan fortsatt beregne disse (ved å anta at vår PE i forhold til alt annet i universet bare har endret seg ubetydelig når vi beveger oss nær den massive gjenstanden vi vurderer). Men det virker utilfredsstillende.

På den annen side, i stedet av å betrakte PE som en positiv mengde energi «investert» i vår posisjon (energi vi «allerede har» brukt «hvis vi beveger oss bort fra den massive gjenstanden, som vi kunne få ved å komme nærmere), kan vi i stedet betrakte det som et negativt mengde energi vi «skylder» på grunn av vår posisjon (energi vi «har fått» gratis «hvis vi kom nærmere objektet fra uendelig, som vi måtte» bruke «for å flykte til uendelig igjen).

Alle beregningene av energi forskjeller fungerer uansett det samme. Men nå går PE-en vår i forhold til et objekt til null da vi kommer veldig veldig langt unna objektet. Dette betyr at når vi kan beregne en tilnærming av vår KE + PE-konstant ved bare å ta i betraktning de mest relevante objektene, og når vi prøver å få bedre tilnærminger ved å inkludere mindre og fjernere objekter i beregningen, blir effekten av disse ekstra objektene nærmere og nærmere null. Så vi kommer opp med et faktisk tall som vi med rette kan si er verdien for vår KE + PE-konstant.

faktum at gravitasjonspotensialenergien som med alle potensielle energier av attarktiske krefter er negativ, er basert på det faktum at vi vil anta at når partiklene er uendelig i forhold til hverandre og i ro har systemet null total energi. Tenk hvis dette ikke var tilfelle og et system med to partikler ved uendelig separasjon i hvile ville bli tatt for å ha en nettoenergi, så ville det oppstå en viss forvirring med hensyn til energi assosiert med hvilemassen. Den totale energien til systemet ville da ikke være $ E = Mc.c $ hvor $ M $ er summen av to masser. Fra hvor skulle denne ekstra energien komme?

Det er galt å anse gravitasjonens potensielle energi som negativ – tho vanlig.

Den store feilen er å tildele PE ved uendelig = 0. Dette er helt klart feil – P.E. er tydeligvis 0 ved 0 separasjon, og stor ved store separasjoner. P.E. av gjenstander langt borte fra hverandre måtte være oppsummeringen av P.E. for det første ordet 100 «av separasjon pluss P.E. for det andre 100» av separasjon pluss — P.E. for hver 100 «til hele separasjonen ble regnskapsført. (Jeg vil uttrykke dette som en integral etter at jeg har pusset opp kalkulatoren min.) Nemlig, PE INCEASES når separasjonen øker – starter ved 0 uten separasjon.

Mange gjør en stor feil når de vurderer gravitasjonens potensielle energi som negativ!

Kommentarer

• Med feltet fra en punktkilde som adlyder det omvendte -kvadratisk lov, kraften er proporsjonal med $ r ^ {- 2} $ og potensialet (og den potensielle energien) er derfor proporsjonal med $ r ^ {- 1} $. Den lineære $ P = mgh $ er bare en tilnærming for små endringer i avstanden.
• @ HDE226868 Mente du å kommentere et annet svar?
• @diracula Nei – jeg burde ha gjort meg tydeligere. Jeg viste matematisk hvorfor potensialet energi forsvinner ved uendelig i stedet for å vokse til uendelig; ettersom $ r \ til \ infty $, $ r ^ {- 1} $ går til $ 0 $.