Vurder følgende enkle Atwood-maskin med en ideell remskive og en ideell streng
I følge læreboka mi tilsvarer spenningen på klemmen som holder maskinen mot veggen $ 2T $. Jeg forstår ikke hvorfor det er. Spenningen i $ T $ i strengen er lik i størrelse til $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, forutsatt at $ m_1 $ akselererer oppover.
Også , blir akselerasjonen av massene i en trevedmaskin gitt av
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Erstatter dette i , får vi spenningen lik
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Så i følge læreboka mi skal spenningen på remskiven være:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Men er ikke alle disse kreftene interne krefter? Hvis vi ser på hele treverket som systemet (unntatt klemmen), er de eneste kreftene som virker på den tyngdekraften, $ (m_1 + m_2) g $ og spenningen i klemmen, $ T_c $. Siden systemet er i ro
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Har jeg rett, eller er det en feil i argumentet mitt?
Kommentarer
- Du fant $ T $, og tekstboken har den samme ligningen multiplisert med faktoren 2. Det er ikke noe problem her.
- Tips: Systemet er ikke i ro.
- Nick ' svaret er komplett, men jeg likte spørsmålet ditt fordi det viser innsatsen å forstå PRINSIPPET under beregninger. Så det er ' etter min mening viktig å forstå hvorfor systemet ikke er ' t i ro.
- Sant, hver beregning bør ikke bare matematisk sjekke ut, men den fysiske tolkningen er også en veldig veldig viktig del! Så på punktet med spørsmålet sa jeg ' god jobb og fortsett det gode arbeidet!
- Hvis det hjelper, kan du vise at senteret o fmasse av de to massene $ m_ {1} $ og $ m_ {2} $ akselererer nedover, og selv om det ser ut som støtten holder hjulet stødig, lar det faktisk hjulet / massesystemet akselerere nedover på grunn av dette.
Svar
Resultatet ditt holder når de to massene er like, i så fall $ a = 0 $ og du hadde det:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Eller:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
I tilfelle massene ikke er de samme, akselererer begge massene, noe som igjen gir en lavere kraft på trinsystemet (og på klemmen).
Dette kan enkelt kontrolleres med formelen for spenningen!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Hvis jeg skulle definere den totale massen som: $ M = m_1 + m_2 $, så kunne jeg uttrykke $ T $ som:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Du kan sjekke om du tegner $ T $ som en funksjon av $ m_1 $, at den når et maksimum i $ m_1 = M / 2 $, noe som betyr at spenningen blir maksimal hvis de to massene er like, blir spenningen:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
eller som du tenkte:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
For fullstendighet plottet av spenningen i funksjon av massen $ m_1 $ når det gjelder dimensjonsløse mengder.
På dette plottet kan du lett se at hvis $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ eller $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, at det ikke ville være noen spenning siden en av de to massene ville være gratis fallende. I mellomstore tilfeller vil det være spenning siden det er et «» trekk «» på begge sider av strengen, jo mer massene $ m_1 $ og $ m_2 $ tilsvarer hverandre, jo mindre bevegelse er det og jo mer trekk er det på strengen.
Kommentarer
- Så hvis argumentet mitt var feil, kan det bare bety at systemet ikke er i ro. Men hvordan kan du si at systemet ikke er i ro?
- I ovennevnte tilfelle har vi en friksjonsfri remskive, med en masseløs streng. Den eneste måten systemet kan være i ro er når de to massene er like (i beregningen din er ' det eneste tilfellet når akselerasjonen er lik null). Når dette er tilfelle, trekker begge massene med like stor kraft i begge ender av strengen. Merk at dette ikke ' t nødvendigvis innebærer at systemet er i ro, det kan også bevege seg med konstant hastighet!
- @Gerard Hvis du skulle legge til masse til stikket og / eller friksjonen til pulsen, så kan det være andre situasjoner der systemet er / blir i ro.
- Det ' stemmer ikke at den forblir på samme sted.Massesenteret akselererer fordi selv om m_1 går oppover og m_2 nedover, er massene forskjellige, så de har en annen " vekt " i den globale bevegelsen. Så hvis m_2 > m_1 og m_2 akselererer nedover, da går massesenteret nedover.
- @Gerard: Høyre, legg merke til at for ditt formål (dvs. total kraft som virker på systemet) hvile eller bevegelse er ikke det du ' du virkelig leter etter. Jeg ' har slurvet bare fortalt deg: " systemet er ikke i ro " . Det som ' er viktig er total akselerasjon, og i dette tilfellet er det ' forskjellig fra 0. En bevegelse med konstant hastighet trenger ingen kraft som virker på systemet. Jeg ' stopper her fordi vi ' misbruker litt plass til kommentarer.
Svar
Systemet er ikke i ro. Hvis du anser massene og remskiven for å være ett system, kan du forstå oppførselen til systemet ved at massesenteret oppfører seg. Med mindre massene er like, er ikke massesenteret i systemet i ro.
Det kan være nyttig å tenke på det på denne måten – Inne i systemgrensemassen $ m_1 $ beveger seg nedover en avstand mens massen $ m_2 $ beveger seg opp med samme avstand. Så massesenteret har flyttet seg ned (eller opp avhengig av om $ m_1 > m_2 $).
Så, spenningen vil bli gitt av ligningen:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Du kan finne ut av det
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, hvor a er verdien av akselerasjonen til massen $ m_1 $ som du har nevnt.
Plugg den inn i ligningen og du vil finne det:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Kommentarer
- Dette er hvordan jeg vil prøve å lære dette problemet. Takk.
- Enhver sjanse for at du eller @Nick kunne kommentere løsningen i form av 4g * mu? Jeg vet at det kan være utenfor omfanget av problemet, men når jeg ser slike forbindelser, prøver jeg å forstå dem.
Svar
Der er faktisk en feil i argumentet ditt. Kort sagt, spenningen på trinselåsen er bare nødvendig for å avbryte den totale gravitasjonskraften på systemet når alt er i likevei ibrium og det er ingen akselerasjon. Imidlertid, hvis massene er ubalanserte, vil den ene av dem falle og den andre vil stige, og det er ikke klart at dette vil holde den totale kraften på samme verdi som det balanserte tilfellet.
Faktisk, du kan sjekke at når de to massene er like så faller svarene sammen: riktig spenning på trinselåsen er $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$