Til Xi «er et første punkt: Når du snakker om $ \ sigma $ -algebras, du spør om målbare sett, så dessverre må ethvert svar fokusere på målteori. Jeg vil imidlertid forsøke å bygge opp til det forsiktig.

En teori om sannsynlighet som innrømmer alle delmengder av utallige sett, vil bryte matematikk

Tenk på dette eksemplet. Anta at du har en enhetsrute i $ \ mathbb {R} ^ 2 $ , og du er interessert i sannsynligheten for å tilfeldig velge et punkt som er medlem av et spesifikt sett i enhetsfeltet . I mange tilfeller kan dette lett besvares basert på en sammenligning av områdene i de forskjellige settene. For eksempel kan vi tegne noen sirkler, måle områdene deres, og deretter ta sannsynligheten som brøkdelen av firkanten som faller i sirkelen. Veldig enkelt.

Men hva om området med interessesettet ikke er veldefinert?

Hvis området ikke er veldefinert, kan vi resonnere til to forskjellige men helt gyldige (på en eller annen måte) konklusjoner om hva området er. Så vi kunne ha $ P (A) = 1 $ på den ene siden og $ P (A) = 0 $ derimot, noe som innebærer $ 0 = 1 $ . Dette bryter all matematikk utenfor reparasjon. Du kan nå bevise $ 5 < 0 $ og en rekke andre latterlige ting. Dette er tydeligvis ikke for nyttig.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras er lappen som fikser matematikk

Hva er en $ \ sigma $ -algebra, akkurat? Det er faktisk ikke så skremmende. Det er bare en definisjon av hvilke sett som kan betraktes som hendelser. Elementer som ikke er i $ \ mathscr {F} $ har ganske enkelt ikke noe definert sannsynlighetsmål. I utgangspunktet er $ \ sigma $ -algebras er » patch » som lar oss unngå noe patologiske atferd i matematikk, nemlig ikke-målbare sett.

De tre kravene til et $ \ sigma $ -felt kan betraktes som konsekvenser av det vi vil gjøre med sannsynlighet: Et $ \ sigma $ -felt er et sett som har tre egenskaper:

1. Lukking under tellbar fagforeninger.
2. Nedleggelse under teller kryss.
3. Nedleggelse under utfyllinger.

De tellerbare fagforeningene og telbare kryssingskomponentene er direkte konsekvenser av ikke- målbart sett. Lukking under komplement er en konsekvens av Kolmogorov-aksiomene: hvis $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ burde være $ 1/3 $ . Men uten (3) kan det skje at $ P (A ^ c) $ er udefinert. Det ville være rart. Lukking under komplement og Kolmogorov-aksiomene lar oss si ting som $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Til slutt vurderer vi hendelser i forhold til $ \ Omega $ , så vi krever videre at $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Gode nyheter: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras er bare strengt nødvendig for utallige sett

Men! Det er også gode nyheter her. Eller i det minste en måte å løse problemet på. Vi trenger bare $ \ sigma $ -algebras hvis vi jobber i et sett med utallig kardinalitet. Hvis vi begrenser oss til tellbare sett, kan vi ta $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ kraftsettet til $ \ Omega $ , og vi har ikke noen av disse problemene fordi for tellbare $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ består bare av målbare sett. (Dette er hentydet til i Xi» s «andre kommentar.) Du vil legge merke til at noen lærebøker faktisk vil begå en subtil slight-of-hand her , og vurder bare tellbare sett når vi diskuterer sannsynlighetsrom.

I tillegg, i geometriske problemer i $ \ mathbb {R} ^ n $ , er det » s helt tilstrekkelig til å bare vurdere $ \ sigma $ -algebras sammensatt av sett som $ \ mathcal {L} ^ n $ tiltak er definert. For å jorde dette noe mer bestemt, $ \ mathcal {L} ^ n $ for $ n = 1,2 , 3 $ tilsvarer de vanlige forestillingene om lengde, areal og volum.Så det jeg sier i forrige eksempel er at settet må ha et veldefinert område for at det skal ha en geometrisk sannsynlighet. Og årsaken er denne: hvis vi innrømmer ikke-målbare sett, så kan vi havner i situasjoner der vi kan tildele sannsynlighet 1 til en hendelse basert på noe bevis, og sannsynlighet 0 til samme hendelse hendelse basert på noe annet bevis.

Men ikke la forbindelsen til utallige sett forvirre deg! En vanlig misforståelse om at $ \ sigma $ -algebras er tellbare sett. Faktisk kan de være tellbare eller utellelige. Tenk på denne illustrasjonen: som før har vi en enhetsrute. Definer $$ \ mathscr {F} = \ text {Alle delmengder av enhetsfeltet med definert $ \ mathcal {L} ^ 2 $ måle}. $$ Du kan tegne en firkant $ B $ med sidelengde $ s $ for alle $ s \ in (0,1) $ , og med ett hjørne ved $ (0,0) $ . Det bør være klart at denne firkanten er en delmengde av enhetsplassen. Videre har alle disse rutene definert område, så disse rutene er elementer i $ \ mathscr {F} $ . Men det skal også være klart at det er utallige mange ruter $ B $ : antall slike ruter er utallige, og hvert kvadrat har definert Lebesgue-mål.

Så som en praktisk sak, er det bare å gjøre observasjonen ofte nok til å gjøre observasjonen at du bare anser Lebesgue-målbare sett for å komme fremover mot problemet med interesse.

Men vent, hva «sa ikke-målbart sett?

Jeg er redd jeg bare kan kaste litt lys på dette selv. Men Banach-Tarski paradoks (noen ganger » sol og ert » paradoks) kan hjelpe oss noen:

Gitt en solid ball i et tredimensjonalt rom, eksisterer det en spaltning av ballen til et endelig antall usammenhengende delmengder, som deretter kan settes sammen på en annen måte for å gi to identiske kopier av den originale ballen. Faktisk innebærer monteringsprosessen bare å flytte bitene rundt og rotere dem uten å endre formen. Selve brikkene er imidlertid ikke » faste stoffer » i vanlig forstand, men uendelige spredning av poeng. Rekonstruksjonen kan fungere med så få som fem stykker.

En sterkere form for setningen innebærer at gitt noen to » rimelige » solide gjenstander (for eksempel en liten ball og en stor ball), kan den ene settes sammen i den andre. Dette blir ofte oppgitt uformelt som » en ert kan hakkes opp og settes sammen igjen i solen » og kalles » ert og solparadokset «. 1

Så hvis du jobber med sannsynligheter i $ \ mathbb {R} ^ 3 $ og du bruker den geometriske sannsynligheten måle (volumforholdet), vil du beregne sannsynligheten for en hendelse. Men du vil kjempe for å definere sannsynligheten nøyaktig, fordi du kan omorganisere settene i rommet ditt for å endre volum! Hvis sannsynligheten avhenger av volumet, og du kan endre volumet til settet til størrelsen på solen eller en ert, da vil sannsynligheten også endres. Så ingen hendelser vil ha en eneste sannsynlighet tilskrevet den. Enda verre, du kan omorganisere $ S \ i \ Omega $ slik at volumet av $ S $ har $ V (S) > V (\ Omega) $ , som innebærer at det geometriske sannsynlighetsmålet rapporterer en sannsynlighet $ P (S) > 1 $ , i åpenbar brudd på Kolmogorov-aksiomene som krever at sannsynligheten har mål 1.

For å løse dette paradokset, kan man gjøre en av fire innrømmelser:

1. The volumet til et sett kan endres når det roteres.
2. Volumet av foreningen av to usammenhengende mengder kan være forskjellige fra summen av volumene.
3. Aksiomene til Zermelo – Fraenkel mengde teori med aksiomet av Choice (ZFC) må kanskje endres.
4. Noen sett kan være være merket » ikke-målbart «, og man må sjekke om et sett er » målbar » før vi snakker om volumet.

Alternativ (1) hjelper ikke å definere sannsynligheter, så det er ute. Alternativ (2) bryter det andre Kolmogorov-aksiomet, så det er ute. Alternativ (3) virker som en forferdelig idé fordi ZFC løser så mange flere problemer enn det skaper.Men alternativ (4) virker attraktivt: hvis vi utvikler en teori om hva som er og ikke er målbart, vil vi ha veldefinerte sannsynligheter i dette problemet! Dette bringer oss tilbake til måle teorien, og vår venn $ \ sigma $ -algebra.

Kommentarer

• Takk for svaret. $ \ mathcal {L} $ står for Lebesque målbar? Jeg ‘ Ll +1 svaret ditt på tro, men jeg ‘ vil virkelig sette pris på det hvis du kunne få ned matematikknivået flere hakk. .. 🙂
• (+1) Gode poeng! Jeg vil også legge til at uten tiltak og $ \ sigma $ algebraer blir kondisjonering og utledning av betingede fordelinger på utallige rom ganske hårete, som vist av Borel-Kolmogorov-paradokset .
• @Xi ‘ en takk for gode ord! Det betyr veldig mye, kommer fra deg. Jeg var ikke kjent med Borel-Kolmogorov-paradokset i skrivende stund, men jeg ‘ leser litt og ser om jeg klarer å gjøre et nyttig tillegg av funnene mine.
• @ Student001: Jeg tror vi klipper hår her. Du har rett i at den generelle definisjonen av » mål » (ethvert mål) er gitt ved hjelp av begrepet sigma-algebraer. Poenget mitt er imidlertid at det ikke er noe ord eller begrep » sigma-algebra » i definisjonen av Lebesgue-tiltaket gitt i min første lenke. Man kan med andre ord definere Lebesgue-mål etter min første lenke, men da må man vise at det er et mål og at ‘ er den harde delen. Jeg er enig i at vi bør stoppe denne diskusjonen.
• Jeg likte veldig godt å lese svaret ditt. Jeg vet ikke ‘ hvordan jeg skal takke deg, men du ‘ har avklart ting mye! Jeg ‘ har aldri studert reell analyse og heller ikke hatt en ordentlig innføring i matematikk. Kom fra en elektroteknisk bakgrunn som fokuserte mye på praktisk implementering. Du ‘ har skrevet det i så enkle ord at en fyr som meg kunne forstå det. Jeg setter stor pris på svaret ditt og den enkelheten du ‘ har gitt. Også takk til @Xi ‘ an for hans fullpakkete kommentarer!

Den underliggende ideen (veldig praktisk) er enkel. Anta at du er en statistiker som jobber med en eller annen undersøkelse. La oss anta at undersøkelsen har noen spørsmål om alder, men ber bare respondenten om å identifisere alderen sin i noen gitte intervaller, som $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $. La oss glemme de andre spørsmålene. Dette spørreskjemaet definerer et «arrangement», $ (\ Omega, F) $. Sigma algebra $ F $ koderer all informasjon som kan fås fra spørreskjemaet, så for aldersspørsmålet (og foreløpig ignorerer vi alle andre spørsmål), vil det inneholde intervallet $ [18,25) $, men ikke andre intervaller som $ [20,30) $, siden vi fra informasjonen som er innhentet i spørreskjemaet ikke kan svare på spørsmål som: tilhører respondentens alder $ [20,30) $ eller ikke? Mer generelt er et sett en hendelse (tilhører $ F $) hvis og bare hvis vi kan bestemme om et prøvepunkt tilhører det settet eller ikke.

La oss nå definere tilfeldige variabler med verdier i det andre hendelsesområdet, $ (\ Omega «, F») $. Ta dette som et eksempel på den virkelige linjen med vanlig (Borel) sigma-algebra. Deretter er en (uinteressant) funksjon som ikke er en tilfeldig variabel $ f: $ «respondentens alder er et primtall», som koder dette som 1 hvis alderen er primær, 0 annet. Nei, $ f ^ {- 1} (1) $ tilhører ikke $ F $, så $ f $ er ikke en tilfeldig variabel. Årsaken er enkel, vi kan ikke bestemme ut fra informasjonen i spørreskjemaet om respondentens alder er førsteklasses eller ikke! Nå kan du lage mer interessante eksempler selv.

Hvorfor krever vi $ F $ for å være La oss si at vi vil stille to spørsmål om dataene, «er respondent nummer 3 18 år eller eldre», «er respondent 3 en kvinne.» La spørsmålene definere to hendelser (sett i $ F $) $ A $ og $ B $, settene med eksempler som gir et «ja» -svar på det spørsmålet. La oss nå stille sammenhengen mellom de to spørsmålene «er responent 3 en kvinne o18 år eller eldre». Nå er det spørsmålet representert ved settkrysset $ A \ cap B $. På en lignende måte er skillelinjer representert med settkobling $ A \ kopp B $. Nå som krever stengning for tellbare kryss og fagforeninger, kan vi spørre tellbare sammenhenger eller krysninger. Og negerer et spørsmål er representert av det komplementære settet. Det gir oss en sigma-algebra.

Jeg så denne typen introduksjon først i det veldig gode bok av Peter Whittle «Sannsynlighet via forventning» (Springer).

REDIGER

Prøver å svare på spørsmål fra whubers i en kommentar: «Jeg ble litt overrasket på slutten, da jeg opplevde denne påstanden:» Krever stengning for tellbare kryss og fagforeninger lar oss spørre tellbare sammenhenger eller disjunksjoner. «Dette ser ut til å komme i sentrum av saken: hvorfor skulle noen ønske å konstruere en så uendelig komplisert hendelse?» vel, hvorfor? Begrens oss nå til diskret sannsynlighet, la oss si, for enkelhets skyld, myntkasting. Når du kaster mynten et endelig antall ganger, kan alle hendelser vi kan beskrive ved hjelp av mynten uttrykkes via hendelser av typen «head on throw $ i $ «,» haler på kast $ i $, og et endelig antall «og» eller «eller». Så i denne situasjonen trenger vi ikke $ \ sigma $ -algebras, algebras av sett er nok. Så er det noen situasjon i denne sammenhengen der $ \ sigma $ -algebras oppstår? I praksis, selv om vi bare kan kaste terningene et endelig antall ganger, utvikler vi tilnærminger til sannsynligheter via begrensningsteoremer når $ n $, antall kast, vokser uten bundet. Så ta en titt på beviset på den sentrale grensesetningen for denne saken, Laplace-de Moivre-setningen. Vi kan bevise via tilnærminger ved å bruke bare algebraer, ingen $ \ sigma $ -algebra skal være nødvendig. Den svake loven til store tall kan bevises via Chebyshevs ulikhet, og for det trenger vi bare beregne varians for endelige $ n $ tilfeller. Men for sterk lov om store tall , den hendelsen vi viser har sannsynlighet kan man bare uttrykkes via et utallig uendelig antall «og» og «eller» «s, så for den sterke loven til store tall vi trenger $ \ sigma $ -algebras.

Men trenger vi virkelig den sterke loven i stort antall? I følge ett svar her , kanskje ikke.

På en måte peker dette på en veldig stor konseptuell forskjell mellom den sterke og den svake loven til store tall: Den sterke loven er ikke direkte empirisk meningsfull, siden den handler om faktisk konvergens, som aldri kan være empirisk verifisert. Den svake loven handler derimot om at tilnærmingskvaliteten øker med $ n $, med numeriske grenser for endelige $ n $, så er mer empirisk meningsfylt.

Så, all praktisk bruk av diskret sannsynlighet kan gjøre seg uten $ \ sigma $ -algebras. For den kontinuerlige saken er jeg ikke så sikker.

Kommentarer

• Jeg tror ikke ‘ jeg tror ikke dette svaret viser hvorfor $ \ sigma $ -felt er nødvendig. Bekvemmeligheten med å kunne svare $ P (A) \ i [20,30) $ er ikke ‘ t mandat fra matematikk. Noe puckishly kan man si at matematikk ikke ‘ bryr seg om hva ‘ er praktisk for statistikere. Egentlig vet vi at $ P (A) \ i [20,30) \ le P (A) \ i [18,34) $, som er veldefinert, så det ‘ er ikke engang klart at dette eksemplet illustrerer hva du vil ha det til.
• Vi trenger ikke ‘ t trenger » $ \ sigma $ » del av » $ \ sigma $ -algebra » for noe av dette svaret, Kjetil. For grunnleggende modellering og resonnementer om sannsynlighet ser det ut til at en fungerende statistiker kunne klare seg helt fint med angitte algebraer som bare er lukket under endelige , ikke tellbare, fagforeninger. Den harde delen av Antoni ‘ spørsmålet gjelder hvorfor vi trenger nedleggelse under utallige uendelige fagforeninger: dette er punktet der motivet blir målteori i stedet for elementær kombinatorikk. (Jeg ser at Aksakal også kom med dette i et nylig slettet svar.)
• @whuber: du har selvfølgelig rett, men i mitt svar prøver jeg å gi litt motivasjon for hvorfor algebraer (eller $ \ sigma $ -algebras) kan formidle informasjon. Det er en måte å forstå hvorfor den alghebraiske strukturen er sannsynlig og ikke noe annet. Selvfølgelig er det i tillegg de tekniske grunnene som er forklart i svaret fra user777. Og selvfølgelig, hvis vi kunne gjøre sannsynlighet på en enklere måte, ville alle være lykkelige …
• Jeg synes argumentet ditt er forsvarlig. Jeg ble litt overrasket på slutten, skjønt, da jeg opplevde denne påstanden: » som krever stengning for tellbare kryss og fagforeninger, lar oss be tellbare sammenhenger eller adskillelser. » Dette ser ut til å være kjernen i problemet: hvorfor skulle noen ønske å konstruere en så uendelig komplisert hendelse? Et godt svar på det vil gjøre resten av innlegget ditt mer overbevisende.
• Re praktiske bruksområder: sannsynlighets- og målteorien som brukes i finansmatematikken (inkludert stokastiske differensiallikninger, Ito-integraler, filtrering av algebraer, osv.) ser ut som det ville være umulig uten sigmaalgebraer. (Jeg kan ‘ t stemme for endringene fordi jeg allerede har stemt på svaret ditt!)

Hvorfor trenger sannsynlighetene $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

Aksiomene til $ \ sigma $ -algebras er ganske naturlig motivert av sannsynlighet. Du vil være i stand til å måle alle Venn-diagramregioner, f.eks. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . For å sitere fra dette minneverdige svaret :

Det første aksiomet er at $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Vel, du vet ALLTID sannsynligheten for at ingenting skjer ( $ 0 $ ) eller at noe skjer ( $ 1 $ ).

Det andre aksiomet er lukket under komplement. La meg komme med et dumt eksempel. Vurder igjen en myntklips med $ X = \ {H, T \} $ . Lat som jeg forteller deg at $ \ sigma $ algebra for denne flippen er $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Det vil si at jeg vet sannsynligheten for at ingenting skjer, at noe skjer, og at det hoder, men jeg vet ikke sannsynligheten for haler. Du vil med rette kalle meg en idiot. For hvis du vet sannsynligheten for et hode, vet automatisk sannsynligheten for haler! Hvis du vet sannsynligheten for at noe skjer, vet du sannsynligheten for at det IKKE skjer (komplementet)!

Det siste aksiomet er lukket under uttallbare fagforeninger. La meg gi deg et annet dumt eksempel. Tenk på en rull, eller $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Hva om jeg var for å fortelle deg at $ \ sigma $ algebra for dette er $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Det vil si at jeg vet sannsynligheten for å rulle en $ 1 $ eller rulle en $ 2 $ , men jeg vet ikke sannsynligheten for å rulle en $ 1 $ eller en $ 2 $ . Igjen vil du med rette kalle meg en idiot (jeg håper årsaken er klar). Hva som skjer når settene ikke er usammenhengende, og hva som skjer med utallige fagforeninger er litt rotere, men jeg håper du kan prøve å tenke på noen eksempler.

Hvorfor trenger du tellbar i stedet for bare endelig $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -tilgjengelighet skjønt?

Vel, det er ikke en helt ren- kutt sak, men det er noen solide grunner til .

Hvorfor trenger sannsynligheten tiltak?

På dette punktet , har du allerede alle aksiomene for et mål. Fra $ \ sigma $ -tilgjengelighet, ikke-negativitet, null tomt sett, og domenet til $ \ sigma $ -algebra. Du kan like godt kreve at $ P $ er et mål. Målteori er allerede berettiget .

Folk tar inn Vitalis sett og Banach-Tarski for å forklare hvorfor du trenger målteori, men jeg tror det er villedende . Vitalis sett forsvinner bare for (ikke-trivielle) tiltak som er oversettelses-invariante, som sannsynlighetsrom ikke krever. Og Banach-Tarski krever rotasjons-invarians. Analyse folk bryr seg om dem, men sannsynligvis ikke .

dêtre av måle teori i sannsynlighetsteori er å forene behandlingen av diskrete og kontinuerlige bobiler, og dessuten tillate bobiler som er blandet og bobiler som rett og slett ikke er noen av dem.

Kommentarer

• Jeg tror at dette svaret kan være et flott tillegg til denne tråden hvis du arbeider litt om det. Slik det står, er det ‘ vanskelig å følge fordi store deler av det avhenger av lenker til andre kommentartråder. Jeg tror at hvis du la det ut som en bunn-til-topp-forklaring på hvordan tiltak, endelig $ \ sigma $ -tilgjengelighet og $ \ sigma $ -algebra passer sammen som nødvendige funksjoner i sannsynlighetsrom, ville det være mye sterkere. Du ‘ er veldig nær, fordi du ‘ allerede har delt svaret i forskjellige segmenter, men jeg tror segmentene trenger mer begrunnelse og resonnement for å få full støtte.

Jeg har alltid forstått hele historien slik:

Vi starter med et mellomrom, for eksempel den virkelige linjen $ \ mathbb {R} $ . Vi vil bruke vårt mål på delmengder av dette rommet , for eksempel ved å bruke Lebesgue-tiltaket, som måler lengde. Et eksempel kan være å måle lengden på delsettet $ [0, 0.5] \ cup [0.75, 1] $ . For dette eksemplet er svaret ganske enkelt $ 0,5 + 0,25 = 0.75 $ , som vi kan få ganske enkelt. Vi begynner å lure på om vi kan bruke Lebesgue-tiltaket til alle delmengder av den virkelige linjen.

Dessverre fungerer det ikke. Det er disse patologiske settene som ganske enkelt bryter ned matematikk. Hvis du bruker Lebesgue-tiltaket på disse settene, vil du få inkonsekvente resultater. Et eksempel på et av disse patologiske settene, også kjent som ikke-målbare sett, fordi de bokstavelig talt ikke kan måles, er Vitali-settene.

For å unngå disse sprø settene definerer vi at tiltaket bare fungerer for en mindre gruppe delmengder, kalt målbare sett. Dette er settene som oppfører seg konsekvent når vi bruker tiltak på dem. For å tillate oss å utføre operasjoner med disse settene, for eksempel ved å kombinere dem med fagforeninger eller ta komplementene deres, krever vi at disse målbare settene danner en sigma-algebra seg imellom. Ved å danne en sigma-algebra har vi dannet en slags trygg havn for våre tiltak for å operere innenfor, samtidig som vi tillater oss å gjøre rimelige manipulasjoner for å få det vi ønsker, for eksempel å ta fagforeninger og komplement. Dette er grunnen til at vi trenger en sigma-algebra, slik at vi kan tegne en region for tiltaket å jobbe innenfor, mens vi unngår ikke-målbare sett. Legg merke til at hvis det ikke var for disse patologiske delmengdene, kan jeg enkelt definere tiltaket som skal fungere innenfor kraftmengden til det topologiske rommet. Imidlertid inneholder kraftsettet alle slags ikke-målbare sett, og det er derfor vi har å plukke ut de målbare og få dem til å danne en sigma-algebra seg imellom.

Som du kan se, siden sigma-algebraer brukes til å unngå ikke-målbare sett, sett som er endelige i størrelse ikke » Vi trenger faktisk ikke en sigmaalgebra. La oss si at du har å gjøre med et eksempel mellomrom $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (dette kan være alt mulig resultat av et tilfeldig tall generert av en datamaskin). Du kan se at det er ganske umulig å komme med ikke-målbare sett med et slikt prøveområde. Tiltaket (i dette tilfellet et sannsynlighetsmål) er veldefinert for hvilken delmengde av $ \ Omega $ du kan tenke deg. Men vi gjør trenger å definere sigma-algebraer for større prøveområder, for eksempel den virkelige linjen, slik at vi kan unngå patologiske undergrupper som bryter ned våre tiltak. For å oppnå konsistens i det teoretiske rammeverket for sannsynlighet, krever vi at begrensede prøverom også danner sigma-algebraer, hvor bare sannsynlighetstiltaket er definert i. Sigma-algebraer i endelige prøverom er en tekniskitet, mens sigma-algebraer i større prøveområder som den virkelige linjen er en nødvendighet .

En vanlig sigma-algebra vi bruker til den virkelige linjen er Borel sigma-algebra. Den dannes av alle mulige åpne sett, og tar deretter komplementene og fagforeningene til de tre forholdene til en sigma-algebra er oppnådd. Si at hvis du konstruerer Borel sigma-algebra for $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , gjør du det ved å liste opp alle mulige åpne sett, for eksempel som $ (0.5, 0.7), (0.03, 0.05), (0.2, 0.7), … $ og så videre, og som du kan forestille deg er det uendelig mange muligheter du kan liste opp, og så tar du komplementene og fagforeningene til en sigma-algebra blir generert. Som du kan forestille deg at denne sigma-algebraen er en DYRE. Den er ufattelig stor. Men den herlige tingen med det er at den ekskluderer alle sprø patologiske sett som brøt sammen matematikk. Disse sprø settene er ikke i Borel sigma-algebra. Dessuten er dette settet omfattende nok til å inkludere nesten alle delmengder vi trenger. Det er vanskelig å tenke på et delmengde som ikke er inkludert i Borel sigma-algebra.

Og så er det historien om hvorfor vi trenger sigma-algebraer og Borel sigma-algebraer er en vanlig måte å implementere denne ideen på.

Kommentarer

• ‘ +1 ‘ veldig leselig. Imidlertid ser det ut til at du motsier svaret av @Yatharth Agarwal som sier » Folk tar inn Vitalis sett og Banach-Tarski for å forklare hvorfor du trenger målteori, men jeg tror det er misvisende. Vitalis sett forsvinner bare for (ikke-trivielle) tiltak som er oversettelses-invariante, som sannsynlighetsrom ikke krever. Og Banach-Tarski krever rotasjons-invarians. Analyse folk bryr seg om dem, men sannsynligvis gjør det faktisk ikke. «. Kanskje du har noen tanker om det?
• +1 (spesielt for » safe haven » metaforen!) . @Stop Gitt at svaret du refererer til har lite faktisk innhold – det gir kun noen få meninger – det ‘ er ikke verdt å vurdere eller diskutere mye, IMHO.