Maksimal forventet forskjell mellom spillere når de bruker 4d6 slipp lavest

$ \ newcommand {\ E} {\ mathbb {E}} $ (Jeg skriver dette forutsatt at du er kjent med å manipulere sannsynlighetsfordelinger og forventninger, men forhåpentligvis ikke noe fancy. Gi meg beskjed hvis jeg skulle forklare noe mer. Jeg gjør dette også på en ganske beregningsmessig måte for bare å få svar i stedet for å prøve å gjøre alt for hånd.)

Si at vi har $ n = 5 $ spillere som hver ruller opp ett tegn med 6 ferdighetspoeng, hver betegnet som $ X_ {ij} $. Definer $ Y_i = \ sum_ {j = 1} ^ 6 X_ {ij} $ for å være summen av $ i $ th-spillerens evner. Da spør du om forventningen til $ Z = \ max_ {i , i «} \ lvert Y_i – Y_ {i»} \ rvert = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $, med notasjonen at $ Y _ {(1)} $ er den første sorterte verdien fra $ \ {Y_1, \ dots, Y_n \} $ (dvs. minimum) og $ Y _ {(n)} $ er $ n $ th (maksimum).

Individuelle score $ X_ {ij } $

Den enkleste måten å finne fordelingen av $ X_ {ij} $, som i svaret du koblet, er å bare tvinge den ved å vurdere alle $ 6 ^ 4 = 1296 $ mulige ruller. Her er litt rask Python-kode (det er sannsynligvis en bedre måte å gjøre dette på …):

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def as_kth_of(a, k, n): """vector a => shape (1, ..., 1, a.size, 1, ..., 1) where new shape is length n, a.size is in kth""" return a[(np.newaxis,) * k + (slice(None),) + (np.newaxis,) * (n - k - 1)] def pmf_drop_lowest(sides, number): rolls = np.arange(1, sides + 1) totals = sum(as_kth_of(rolls, k, number) for k in xrange(number)) mins = np.ones_like(totals) * 10000 for k in xrange(number): mins = np.minimum(mins, as_kth_of(rolls, k, number)) return np.bincount((totals - mins).ravel()) / totals.size score_pmf = pmf_drop_lowest(6, 4) plt.bar(np.arange(score_pmf.size) - .5, score_pmf) 

Total evighetspoeng $ Y_i $

Nå kan vi finne fordelingen av summen av evnescore, $ Y_i = X_ {i1} + X_ {i2} + \ dots + X_ {i6} $.

Hva er fordelingen av summen av to uavhengige, diskrete tilfeldige variabler $ A + B $? Vel, $ \ Pr (A + B = c) = \ sum_ {k = – \ infty} ^ \ infty \ Pr (A = k) \ Pr (B = k – c) $. Det viser seg at denne operasjonen er kjent som konvolusjon , og heldigvis har numpy en funksjon for å gjøre det for oss. (Den koblede Wikipedia-artikkelen har ikke mye om det for sannsynligheten; du kan prøve dette kapittel av Grinstead og Snell .)

Kode:

total_pmf = 1 for _ in xrange(6): total_pmf = np.convolve(total_pmf, score_pmf) plt.bar(np.arange(total_pmf.size) - .5, total_pmf) 

Høyeste og laveste verdier på $ Y $

Nå som vi vet fordelingen for $ Y_i $, er spørsmålet vårt: hva er den maksimale parvise avstanden mellom to elementer av $ Y $? Alternativt, hva er forskjellen mellom den høyeste og den laveste $ Y $?

Når vi skriver variabelen vi bryr oss om som $ Z = Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $, har vi at $ \ EZ = \ E Y _ {(n)} – \ E Y _ {(1)} $, siden forventningen er lineær. Dette sparer arbeidet jeg opprinnelig skrev opp dette svaret i beregning av den felles fordelingen av de to. 🙂

La oss først definere den kumulative fordelingsfunksjonen (cdf) $ \ Pr (Y \ le y) = \ sum_ {k = 0} ^ y \ Pr (Y = k) $. Deretter er cdf til $ Y _ {(n)} $ $$ \ begin {align *} \ Pr (Y _ {(n)} \ le y) & = \ Pr \ left (Y_1 \ le y \ text {and} Y_2 \ le y \ text {and} \ dots \ text {and} Y_n \ le y \ right) \\ & = \ prod_ {i = 1} ^ n \ Pr \ left (Y_i \ le y \ right) \\ & = \ Pr (Y \ le y) ^ n \ end {align *} $$ siden $ Y_i $ er uavhengige. Da $ Y _ {(n)} $ tar ikke-negative heltalsverdier, kan vi beregne forventningen som $$ \ begin {align *} \ E Y _ {(n)} & = \ sum_ {y = 1} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} \ ge y) = \ sum_ {y «= 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(n)} > y») \\ & = \ sum_ {y «= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y _ {(n)} \ le y») \ right) = \ sum_ {y «= 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr (Y \ le y «) ^ n \ right). \ End {align *} $$ Kode:

n_players = 5 total_cdf = np.cumsum(total_pmf) exp_max = np.sum(1 - total_cdf ** n_players) 

får exp_max ca 81 .5.

Tilsvarende for min: $$ \ begin {align *} \ Pr \ left (Y _ {(1)} \ le y \ right) & = 1 – \ Pr \ left (Y _ {(1)} > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_1 > y \ text {and} \ dots \ text {and} Y_n > y \ right) \\ & = 1 – \ Pr \ left (Y_i > y \ right) ^ n \\ & = 1 – \ left (1 – \ Pr \ left (Y \ le y \ right) \ right) ^ {n} \ end {align *} $$ og forventningen er: $$ \ E Y _ {( 1)} = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ Pr (Y _ {(1)} > y) = \ sum_ {y = 0} ^ \ infty \ left (1 – \ Pr \ venstre (Y \ le y \ høyre) \ høyre) ^ n $$

Kode:

exp_min = np.sum((1 - total_cdf) ** n_players) 

får exp_min omtrent 65.3.

Den endelige forventede forskjellen mellom de heldigste og ulykkeligste av 5 spillere er da totalt 16,2 evnepoeng. (Det er ganske mye!)

For øvrig nevnte jeg at jeg beregnet den felles fordelingen av $ Y _ {(1)} $ og $ Y _ {(n)} $ (som $ \ Pr (Y_ {n} = y «) \ Pr (Y _ {(1)} = y \ mid Y _ {(n)} = y») $). Det viser seg at for fem spillere er distribusjon av $ Y _ {(n)} – Y _ {(1)} $ ser slik ut:

Kommentarer

• Merk at det kan være bedre å evaluere kvaliteten på et sett med evner basert på deres totale poengkjøpspoeng, i stedet for summen. Det irriterende med det er at du kan ' t pek-kjøp en poengsum under 7, så det ' er ikke alltid veldefinert ….