Bessel-filteroverføringsfunksjonen er definert via bessel-polynomer. Hvis vi for eksempel ser på et 2. ordens filter, er overføringsfunksjonen: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Jeg ønsket å lage en simulering for et slikt filter med en Sallen-Key-arkitektur. Derfor konsulterte jeg denne designveiledningen av TI. De definerer overføringsfunksjonen til en 2. ordens lavpass som:
Ao er 1 siden jeg vil at gevinsten skal være enhet. Jeg så på tabellen nedenfor for å beregne C- og R-verdiene riktig.
Derfor blir overføringsfunksjonen: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Jeg kjørte simuleringen og så på bode-plottet. Det viste det ønskede resultatet (-3db avskjæringsfrekvensen var som beregnet).
Men jeg forstår ikke hvorfor overføringsfunksjonen ser så annerledes ut. Det er definitivt ikke et Bessel-polynom. Jeg sjekket trinnresponsen og observerte et overskudd på 0,4% som man kunne forvente for et Bessel-filter. Derfor har jeg 3 spørsmål:
- Hvordan kan det hende at overføringsfunksjonen i ti designguiden ikke er et bessel-polynom.
- Skal polplasseringen til et 2. ordens Bessel-filter være den samme for ethvert filter med en viss avskjæringsfrekvens?
- Kan en andre ordens bessel lavpass ha en annen Q-faktor enn 0,5773?
Takk!
Kommentarer
- Konstanten i nevneren for den siste ligningen H (e) må være " 1 " i stedet for " 3 ". Siste spørsmål: NEI !. Det er bare Q-faktoren som bestemmer Bessel-responsen.
- du har rett, det var en skrivefeil. Trenger fortsatt ikke å gjøre mye med et bessel-polynom.
- Hvorfor ikke? Det er en typisk filterfunksjon med en frekvensrespons kalt " Thomson-Bessel ". Hva er problemet ditt? Selvfølgelig er filterfunksjonen ikke identisk med " matematisk Bessel polynominal ".
- Jeg don ' t forstå hvorfor du har denne matematiske definisjonen på den ene siden, og en overføringsfunksjon som er helt annerledes på den andre siden. Hvor kommer disse koeffisientene fra?
- Koeffisientene til de såkalte Bessel-filtrene beregnes ut fra kravet om en maksimal flat gruppeforsinkelse i passbåndet (sammenlignes med en maksimal flat amplitude for Butterworth filtes) . Det kan vises at under beregning av koeffisientene bruker vi de kjente Bessel-polynominalene (dette er en ganske involvert prosedyre) – men dette betyr ikke at størrelsen på overføringsfunksjonen har respons som ser ut som Bessel-funksjoner. Det er – som nevnt – den matematiske prosedyren bak funnet av koeffisientene. OK?
Svar
Hvordan kommer det til at overføringen funksjonen i ti designguiden er ikke et bessel-polynom.
La oss se på overføringsfunksjonen du har skrevet: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Omorganisering: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Ligningen er nå i standardform: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Og tydelig \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ derav 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Denne biten er viktig fordi den er \ $ \ sqrt3 \ $.
For et Bessel 2. ordens lavpassfilter 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ derav er zeta 0,866.
På bildet har jeg manipulert R for å gi meg et dempningsforhold (zeta) på nøyaktig 1.732 – se på toppen i trinnrespons – 1.00433 volt – helt riktig for Bessel. Se på faseforsinkelsen tegnet på den øvre grafen – maksimalt flat og gradvis bli 90 grader ved den naturlige resonansfrekvensen. Fd (den dempede frekvensen) er nøyaktig 0,5 – indikerer også Bessel.
Kan en annenordens bessel lavpass ha en annen Q-faktor enn 0,5773?
0.5773 er gjensidig av \ $ \ sqrt3 \ $ og nei det må ikke være så Q for en Bessel LPF.
Kommentarer
- Årsaken til at polynomet er annerledes er for frekvensskalering. En ikke-skalert Bessel (OP ' s første formel) vil ha \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, med en demping på ~ -1.597dB @ 1Hz – ikke noe uvanlig, Bessel er normalt for flat gruppeforsinkelse, ikke frekvens – så TI skalerte den slik at den ' er den klassiske -3dB.
- @aconcernedcitizen hvorfor ikke gjøre dette til et svar i stedet for å feste det til svaret mitt, med mindre du selvfølgelig er for subtil og påpeker en feil i svaret mitt at jeg ' er for dum å gjenkjenne?
- Jeg hadde skrevet dette som en kommentar, slik at svaret som jeg kommenterer, kan oppdateres, om nødvendig. Men hvis du sier at det skal være et svar, så gjør det. Jeg vet ikke ' hvor kom " dum " fra.
Svar
Et Bessel-filter har, som du viser riktig i din første formel, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Det er ikke uvanlig hvis du tror at et Bessel-filter vanligvis brukes til sin flate gruppeforsinkelse, snarere enn dets frekvensadferd (som @LvW sier i kommentaren). Men å implementere et filter med den overføringsfunksjonen vil gi 1.597dB@1Hz demping, som ikke gjør responsen klassisk. Så, TI anvendte en frekvensskalering slik at dempningen er -3dB @ 1Hz. Når det skjer, er den kvadrerte frekvensen (pulsering) \ $ \ phi \ $ = 1.618 … hvorpå de ordnet ordene slik at de passer til deres opamp-topologi.