Riktig ligning for Breslow-Day-statistikk i homogenitetstest av oddsforhold

I Statistiske metoder for kreftforskning; Bind 1 – Analysen av case-control studier forfatterne Breslow og Day utleder en statistikk for å teste homogeniteten til å kombinere strata til et oddsforhold (ligning 4.30). Gitt verdien av statistikken, bestemmer testen om det er hensiktsmessig å kombinere lag sammen og beregne et enkelt oddsforhold.

For eksempel hvis vi bare har en 2×2 beredskapstabell:

_{(kilde: kean.edu )}

oddsforholdet for å få en sykdom med en risikofaktor sammenlignet med ikke å ha risikofaktoren er:

$$ \ psi = (A * D) / (B * C) $$

hvis vi har flere beredskapstabeller (for eksempel stratifiserer vi etter alder gruppe), kan vi bruke estimatet Mantel-Haenzel til å beregne oddsforholdet over alle $ I $ strata:

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {I} A_i D_i / N_i} {\ sum_ {i = 1} ^ {I} B_i C_i / N_i} $$

For hver beredskapstabell har vi $ R1 = A + B $ , $ R2 = C + D $ og $ C1 = A + C $ slik at vi kan uttrykke det forventede oddsforholdet for den tabellen når det gjelder totalene:

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {AD} {BC} = \ frac {A (R2-C1 + A)} {(R1-A) (C1-A)} $$

som gir en kvadratisk ligning for A. La $ a $ være løsningen på denne kvadratiske ligningen (bare en rot gir et rimelig svar).

Dermed er en rimelig test for tilstrekkelig antagelsen om et felles oddsforhold å oppsummere kvadratavviket; av observerte og tilpassede verdier, hver standardisert etter avvik:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ frac { (a_i – A_i) ^ {2}} {V_i} $$

der avviket er:

$$ V_i = \ left (\ frac {1} {A_i} + \ frac {1} {B_i} + \ frac {1} {C_i} + \ frac {1} {D_i} \ right) ^ {- 1} $$

Hvis antagelsen om homogenitet er gyldig, og størrelsen på prøven er stor i forhold til antall lag, følger denne statistikken en tilnærmet kikvadratfordeling på $ I-1 $ frihetsgrader og dermed en p-verdi kan bestemmes.

Hvis vi i stedet deler $ I $ strata i $ H $ grupper, og vi mistenker at oddsforholdene er homogene i grupper, men ikke mellom dem, Breslow og Day gir en alternativ statistikk (ligning 4.32) :

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ left (\ sum_i a_i – A_i \ right) ^ {2}} {\ sum _i V_i} $$

der $ i $ summasjonene er over lag i $ h ^ {th} $ gruppe med statistikken som chi-kvadrat med bare $ H-1 $ frihetsgrader (jeg antar en annen mantel -Haenzel estimat beregnes innenfor hver gruppe).

Mitt spørsmål er ligning 4.32 virker ikke riktig for meg. Hvis noe, forventer jeg at det har formen:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ sum_i \ left (a_i – A_i \ right) ^ {2}} {\ sum_i V_i} $$

eller:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ sum_ {i} \ frac {(a_i – A_i) ^ {2}} {V_i} $$

med sistnevnte ligning tilnærmet en chi-kvadratfordeling på $ I-1 $ frihetsgrader.

Hvilken av disse ligningene skal jeg bruke?