Hvis en bowlingkule beveger seg med en viss starthastighet mens den glir, hvor langt vil den bevege seg før den begynner å rulle når den opplever statisk friksjon?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
Og det er også et moment fra den kinetiske friksjonen på ballen (R = radius på ballen )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ innebærer \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
Forutsetningen for å rulle uten å gli er $ v = R \ omega $ og fra det tidspunktet ballen kommer i kontakt med bakken, reduseres tverrgående hastighet mens vinkelhastigheten øker til en punkt der de er like. Jeg er ikke sikker på hva jeg skal gjøre på dette tidspunktet, fordi alt jeg prøver ikke virker.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ innebærer v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Jeg vet ikke helt hva jeg skal gjøre med denne differensiallikningen som ikke vant involverer $ \ theta $ slik at jeg kan bruke den i den lineære bevegelsesligningen. Jeg har prøvd å bruke tid, men jeg vet ikke hvordan det vil hjelpe, og selve vinkelen er ubrukelig.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Jeg kan ikke si $ x = R \ theta $ på grunn av glidningen
Kommentarer
- (Interessant til side): Når den begynner å rulle uten å skli, stopper den aldri! (med mindre vi inkluderer luftmotstand og / eller materialdeformasjon )
Svar
La oss si at når ballen først kommer i kontakt med bakken, har den starthastighet $ v_0 $ og innledende vinkelhastighet $ \ omega_0 = 0 $.
Du har et konstant dreiemoment som påføres ballen, så din forskjell erensiell ligning er veldig enkelt å integrere for å få:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
For forskyvningen, gå direkte med Newtons lov, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, som også har en konstant kraft og lett kan integreres en gang for å få
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
Herfra bør du kunne bruke $ v = \ omega R $ -tilstanden for å finne ut hvor lang tid det tar ballen til begynn å rulle uten å glide, og når du har fått den tiden, integrerer du forskyvning en gang til for å få
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
som gir deg den tilbakelagte avstanden og angir tiden du beregnet før.
Kommentarer
- Tusen takk. Det gir så mye mening når du sier det