Ok, så jeg har reelle problemer med å skille mellom Steady State-konseptet og den balanserte vekstveien i denne modellen :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Jeg har blitt bedt om å utlede verdiene for stabil verdi for kapital per effektiv arbeidstaker :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
I tillegg til steady state-forholdet mellom kapital og produksjon (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Jeg fant begge disse fine, men jeg har også blitt bedt om å finne «steady-state-verdien av marginale produktprodukt, dY / dK «. Dette er hva jeg gjorde:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Erstatter i for K i steady state (beregnet når du trener steady state for K / Y-forholdet ovenfor):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ venstre [AL \ venstre (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ høyre) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Først må jeg vite om denne beregningen for steady state-verdien til MPK er riktig?
For det andre er jeg blitt bedt om å tegne tidsveiene til kapital-output-forholdet og det marginale kapitalproduktet, for en økonomi som konvergerer til sin balanserte vekstvei «nedenfra».
Jeg har problemer med å forstå nøyaktig hvordan den balanserte vekstveien er, i motsetning til stabil tilstand, og hvordan jeg kan bruke beregningene mine til å finne ut hvordan disse grafene skal se ut.
Beklager mammutposten, enhver hjelp blir satt stor pris på! Takk på forhånd.
Svar
Dette er når forsøket på nøyaktighet skaper forvirring og misforståelse.
Tilbake på dagen innarbeidet ikke vekstmodeller teknologisk fremgang, og førte til en langsiktig likevekt preget av konstant størrelser per innbygger. Muntlig syntes begrepet «steady-state» passende å beskrive en slik situasjon.
Så kom Romer og endogene vekstmodeller, som også presset de eldre modellene til å begynne å inkludere som en rutinemessig funksjon eksogene vekstfaktorer (bortsett fra befolkning). Og «plutselig» var begrep per innbygger ikke konstant i den langsiktige likevekten, men vokste med en konstant hastighet . Opprinnelig beskrev litteraturen en slik situasjon som «steady state in growth rate».
Så ser det ut til at yrket tenkte noe som «det er unøyaktig å bruke ordet» stødig «her fordi størrelsen per innbygger vokser. Det som skjer er at alle størrelser vokser balansert hastighet (dvs. i samme hastighet, og så forblir forholdstallene deres konstante). Og siden de vokser, følger de en sti … «Eureka !: begrepet» balansert vekstvei «ble født.
… Til frustrasjon for studentene (i det minste), som nå må huske at for eksempel «sadelstien» faktisk er en sti i fasediagrammet, men den «balanserte vekstveien» er bare et poeng! (fordi for å faktisk tegne et fasediagram og oppnå en god gammel langsiktig likevekt, uttrykker vi størrelser per effektiv arbeider, og disse størrelsene har en tradisjonell stabil tilstand. Men vi fortsetter å kalle det «balansert vekstvei», fordi størrelsesorden per innbygger, som er det vi er interessert i, i vår individualistiske tilnærming), fortsetter å vokse).
Så «balansert vekstvei» = «stabil tilstand av størrelsesorden per effektivitetsenhet», og jeg antar at du kan finne ut resten for fasediagrammet ditt.
Svar
Etter samtalen med brukeren @denesp på kommentarer til mitt forrige svar, må jeg avklare følgende: den vanlige grafiske enheten vi bruker relatert til den grunnleggende Solow-vekstmodellen (se for eksempel her , figur 2 ) er ikke et fasediagram, siden vi med rimelighet kaller «fasediagrammer» de som inneholder null-endringsloki, identifiserer krysspunktene til dem som faste punkter i en dynamica systemet, og undersøke deres stabilitetsegenskaper. Og dette er ikke hva vi gjør for Solow-modellen. Så det var uforsiktig bruk av terminologi fra min side.
Likevel kan vi tegne et «halvfasediagram» for Solow vekstmodell, i $ (y, k) $ space. Forstå symbolene som «per effektivitetsenhet» har vi systemet med differensiallikninger (mens $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f «_k (k) \ cdot \ dot k $$ Skrive nullendringsligningen som en svak ulikhet for å vise også de dynamiske tendensene, vi har
$$ \ dot k \ geq 0 \ innebærer y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ innebærer \ dot k \ geq 0 $$
Så dette systemet gir et enkelt nullstillingssted, en rett linje Ingen kryssingspunkter for å identifisere et fast punkt Hva kan vi gjøre?Tegn også produksjonsfunksjonen i diagrammet, siden $ (y, k) $ -feltet i realiteten ikke er dimensjonalt, ikke et område, men en linje. Så får vi
vertikale / horisontale piler som indikerer de dynamiske tendensene kommer ordentlig fra de svake ulikhetene over (både $ y $ og $ k $ har en tendens til å vokse når de er over null-endringslokalet). Siden $ y $ og $ k $ er begrenset til å bevege seg på den stiplede linjen (som er produksjonsfunksjonen), følger det at de beveger seg mot sitt faste punkt, uansett hvor vi starter. Her representerer produksjonsfunksjonsgrafen i det vesentlige veien mot langsiktig likevekt, siden konvergens er monoton.