Jeg ser på en BEKK Multivariate GARCH-modell.
I en standard GARCH-modell forventer vi generelt,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Alfa ( $ \ alpha $ ) koeffisienten til å være betydelig mindre enn beta ( $ \ beta $ ), se for eksempel Verbeeks «Guide to modern econometrics kapittel om GARCH», med rundt 0,1 alfa og 0,8 beta.
Jeg går nå inn i en multivariat setting, til en BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ slutt {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
dvs. en MV-ARCH (1),
Vet noen om egnede parametere for $ A_ {ij} $ matrise, med en referanse? Og også BEKK (1,1) med GARCH-begrepet,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Jeg trenger passende parameterverdier (som i hva vi forventer) for A og B . Jeg forstår at dette vil endre seg betydelig mellom datasett osv. Men generelt verdier vi måtte forvente?
Svar
Dessverre er det ingen rett frem sjekker på $ a_ {ij} $ «s og $ b_ {ij} $ » s koeffisienter i BEKK-saken, som $ \ alpha + \ beta < 1 $ sikrer stasjonæritet og svak tidsavhengighet i GARCH (1,1) sak. Forholdene er litt mer innviklet i BEKK-saken.
Prosessen er stasjonær og svakt tidsavhengig (i den forstand at den «er en geometrisk ergodisk Harris gjentakende Markov-kjede), hvis alle egenverdiene til $ k ^ 2 \ ganger k ^ 2 $ matrise $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ are mindre enn 1 og $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ er positiv, men det vil alltid være tilfelle med $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , siden det er positivt bestemt av konstruksjon. $ \ otimes $ betegner Kronecker-produktet .
Teorem 2 i Comte og Lieberman (2003) sier at denne tilstanden sikrer at estimatoren for maksimal sannsynlighet er konsistent, og hvis vi videre antar at prosessen har endelig sjette ordens øyeblikk, er $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , så etablerer Theorem 3 i Hafner og Preminger (2009) asymptotisk normalitet av MLE.
Så vidt jeg vet, gir litteraturen ingen rett fram parameterbegrensninger, noe som sikrer endelige sjette ordens øyeblikk i BEKK-prosessen. Setning C.1 i vedlegget til Pedersen og Rahbek (2014) gir tilstrekkelige betingelser for ARCH-versjonen av den gaussiske BEKK-prosessen ( $ B_ {11} = 0 $ ), for å ha $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Disse betingelsene er at alle egenverdier for $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ skal være mindre enn $ 15 ^ {- 1/3} \ ca. 0,4055 $ .
- F. Comte og O. Lieberman. Asymptotisk teori for multivariate GARCH-prosesser. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner og A. Preminger. Om asymptotisk teori for multivariate GARCH-modeller. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen og A. Rahbek. Multivariat variansmålretting i bekk-garch-modellen. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Kommentarer
- Ikke sikker på om dette gjelder den spesielle formen for BEKK som er studert her, men McAleer " Hva de ikke fortalte deg om algebraisk (ikke-) eksistens, matematisk (ir-) regelmessighet og (ikke-) asymptotiske egenskaper til hele BEKK dynamisk betinget kovariansmodell " (2019) viser at BEKK kanskje ikke engang eksisterer unntatt under restriktive forhold, og trekker teppet fra under 4500+ papirer med sitering av BEKK.
- @Duffau et flott svar, men har du noen ideer om hva gapet mellom A og B skal være?
- Takk @FrancisOrigi! Så husk at A og B er matriser, så det er ingen klar forestilling om " gap ". I dynamiske systemer der prosessen er definert av matriser, bestemmer ofte en slags egenverdi systemets stabilitet. Som for BEKK styres stabiliteten (stasjonaritet og svak avhengighet) av egenverdiene til de transformerte matrisene jeg beskrev ovenfor. Hvis du vil lære mer, vil jeg se på lineære Vector Autoregressions, de er den enkleste typen med multivariat dynamikk. De tilsvarer AR-modeller i den univariate verdenen.