I en tysk Wikipedia-side gjøres følgende beregning for temperaturen på solens overflate:
$ \ sigma = 5,67 * 10 ^ {- 8} \ frac {W} {m ^ 2K ^ 4 } $ (Stefan-Boltzmann-konstant)
$ S = 1367 \ frac {W} {m ^ 2} $ (solkonstant)
$ D = 1.496 * 10 ^ {11 } m $ (gjennomsnittlig avstand mellom jord og sol)
$ R = 6,963 * 10 ^ 8 m $ (solens radius)
$ T = (\ frac {P} { \ sigma A}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {S4 \ pi D ^ 2} {\ sigma 4 \ pi R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {SD ^ 2} {\ sigma R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = 5775.8 \ K $
(Wikipedia gir 5777K fordi radiusen ble avrundet til $ 6,96 * 10 ^ 8m $ )
Denne beregningen er helt klar.
Men i Gerthsen Kneser Vogel er det en øvelse der Sherlock Holmes estimerte soltemperaturen bare visste roten til brøkdelen av D og R La oss si, han estimerte denne brøkdelen til 225, så kvadratroten er omtrent 15, hvordan doe er han kommet til 6000 K? Verdien $ (\ frac {S} {\ sigma}) ^ \ frac {1} {4} $ har omtrent verdien 400. Det kan ikke være den omtrentlige gjennomsnittstemperaturen på jorden, som er omtrent 300K. Hva savner jeg?
Svar
Forholdet mellom temperatur mellom en planet og en stjerne basert på en strålingsenergibalanse er gitt av følgende ligning ( fra Wikipedia ):
$ T_p = temperatur \ av \ planeten $
$ T_s = temperatur \ av \ stjernen $
$ R_s = radius \ av \ stjernen $
$ \ alpha = albedo \ av \ planeten $
$ \ epsilon = gjennomsnittlig \ emissivitet \ av \ planeten $
$ D = avstand \ mellom \ stjerne \ og \ planeten $
Derfor hvis Sherlock kjenner $ \ sqrt {\ frac {R_s} {D}} = 0,06818 $ og kan estimere jordens temperatur $ T_p $ samt $ \ alpha $ og $ \ epsilon $ så kan han beregne temperaturen på overflaten av solen som er den ukjente variabelen $ T_s $.
Både $ \ alpha $ og $ \ epsilon $ har sanne verdier mellom null og en. Si Sherlock antok $ \ alpha = 0,5 $ og $ \ epsilon = 1 $ (perfekt svart kropp). Beregner temperaturen på jorden h $ T_p $ for å være 270 K og plugge inn alle tallene vi har:
Hvilket er veldig nær den sanne gjennomsnittstemperaturen på solens overflate, 5870 K . Saken er avsluttet!
Kommentarer
- $ 6653K $ er " veldig nær " til $ 5870K $?
- @Peter, med tanke på temperaturområdet som finnes i universet (~ 0 K helt opp til titalls millioner K og enda høyere), 15 % nøyaktighet er nær.
- @Joshua Beklager, tilnærmingen kan være god nok som en grov gjetning, men det er ikke " nær ".
- @Peter, hvor nær er nær? Det ' er et vilkårlig skille jeg forstår. Min avslutning er ikke din nærhet i dette tilfellet. Poenget mitt er at Sherlock bare vet et nummer og gjetter på $ \ alpha $ og $ \ epsilon $ og får et svar som er innenfor ~ 15%, det er ganske bra.
- boken sier at estimatet var 6000 K – bare en signifikant figur – så du kan lett forestille deg at estimeringen er god til + eller – 1000 K. Hvis Sherlock antar $ \ alpha = 0.3 $ i stedet ( nærmere den virkelige verdien ), er den estimerte temperaturen på solen 6123 K, som avrunder til 6000 K.
Svar
Et grovt estimat av kroppens temperatur i solsystemet er $$ T = \ frac {280K} {\ sqrt {D_ {AU}}} $$ hvis vi beregner AU-fraksjonen fra solens «kant» til sentrum, R over D = $ 4,65×10 ^ -3 $, og erstatt dette i formelen, solens temperatur ville være omtrent 4100K. Ikke veldig nær 5776 K , men bruker kvadratroten til RD-fraksjonen.
Formelen gjenspeiler effektive temperaturer. Imidlertid er topp, såkalte sub-soltemperaturer, $ \ sqrt {2} $ ganger effektive temperaturer, som vil gi omtrent 5800K. Smart Sherlock!
Kommentarer
- Hvis jeg forstår artikkelen riktig, kalles 5777K effektiv temperatur.
- Peter, effektiv temperatur er i utgangspunktet gjennomsnittstemperaturen til et legeme som kretser rundt solen. Sub-soltemperaturer oppstår ved solens ' s for en kropp.
- Jeg vil at du skal være klar over at svaret mitt var et forsøk på å svare på spørsmålet om hvordan Sherlock kan ha bestemt solens ' temperatur ved hjelp av R- og D-faktorene. Det er på ingen måte en gyldig bruk av formelen jeg la ut. Det var ganske enkelt et triks med en gyldig formel. Men det svarte på spørsmålet ditt.
- Michael, enhetene på ligningen din ser ikke ut '.
- pentan, veldig sant . Formelen er ganske enkelt en nyttig tilnærming for å estimere solsystemets kroppstemperaturer.Den ignorerer faktorer som albedo, indre energi og atmosfæriske effekter, noe som forklarer dens enkelhet.