Dette spørsmålet har allerede et svar her :
Kommentarer
- Gjør du har du noen tanker om dette selv? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ ville være feil – vurder en nesten sikkert konstant ikke-null $ X $
- Nei sir. Jeg vet at Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 og E (XY) = E (X) E (Y) som X, Y er uavhengige, men ingen anelse om X ^ 2 og Y ^ 2 er uavhengige eller ikke.
- Hvis $ X $ og $ Y $ er uavhengige, er $ X ^ 2 $ og $ Y ^ 2 $ også uavhengige og $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Generell produktsak her: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produktet av 2 er gitt i spørsmålet)
- Tusen takk Glen_b
Svar
Du kan følge Henrys kommentarer for å komme frem til svaret. En annen måte å komme til svaret er å bruke det faktum at hvis $ X $ og $ Y $ er uavhengige, da er $ Y | X = Y $ og $ X | Y = X $ .
Ved gjentatte forventninger og variansjonsuttrykk
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ tekst {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Kommentarer
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ kan være riktig, men det er underlig ikke-symmetrisk som $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ ville være. Jeg ville trodd $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ ville være mer naturlig mens $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ ville også være sant
- @Henry Vel, ved å bruke $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, får vi $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. At ' er symmetrisk.