hvordan kan jeg beregne variansen av p som er avledet av en binomialfordeling? La oss si at jeg vender n mynter og får k hoder. Jeg kan estimere p som k / n, men hvordan kan jeg beregne avviket i det estimatet?
Jeg er interessert i dette slik at jeg kan kontroll for avvik i forholdsestimatene mine når jeg sammenligner mellom poeng med forskjellige antall forsøk. Jeg er mer sikker på estimatet på p når n er større, så jeg vil gjerne kunne modellere hvor pålitelig estimatet er.
Takk på forhånd!
eksempel:
- 40/100. MLE av p ville være 0,4, men hva er variansen i p?
- 4/10. MLE vil fortsatt være 0,4, men estimatet er mindre pålitelig, så det bør være mer varians på s.
Svar
Hvis $ X $ er $ \ text {Binomial} (n, p) $, så MLE på $ p $ er $ \ hat {p} = X / n $.
En binomialvariabel kan betraktes som summen av $ n $ Bernoulli tilfeldige variabler. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ hvor $ Y_i \ sim \ tekst {Bernoulli} (p) $.
slik at vi kan beregne variansen til MLE $ \ hat {p} $ som
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Så du kan se at avviket til MLE blir mindre for store $ n $, og det er også mindre for $ p $ nær 0 eller 1. Når det gjelder $ p $ maksimeres det når $ p = 0,5 $.
For noen konfidensintervaller kan du sjekke ut Binomiale konfidensintervaller
Kommentarer
- Jeg tror lenken ligner på det jeg ' ser etter, men jeg vil ha en verdi som tilsvarer variansen til p. Hvordan kan jeg få det fra konfidensintervallet?
- Jeg redigerte det opprinnelige svaret for å svare på spørsmålet ditt nærmere.
- Hvordan takler du at formelen for variansen krever p, men du har bare et estimat av p?
- Du kan vurdere å bruke en variansstabiliserende transform som $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $, og så får du ut at variansen til den transformerte variabelen er $ \ tfrac {1} {4n} $