Afleiding van verminderde massa [duplicaat]

Systemen met twee lichamen kunnen eenvoudiger worden geanalyseerd met behulp van verminderde massa, omdat het probleem in feite teruggaat tot één lichaam. De eerste benadering kan worden verkregen door aan te nemen dat, m1 >> m2, zoals een planeet in een baan om de ster, omdat het zwaartepunt samenvalt met m1. Er kan dus worden aangenomen dat het zware lichaam in rust is en dat men er lichter omheen beweegt.

Afleiding: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {is een massa en positie van het massieve lichaam en} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {de lichtere.} $$

$$ \ text {Aangenomen wordt dat} \, m_1 > > m_2 \, \ text {De kracht tussen de massas (zwaartekracht) hangt af van het verschil in positievectoren}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {is kracht op lichaam 1 vanwege lichaam 2} $$ Bij onze benadering gaan we ervan uit dat de zware massa rust bij oorsprong. Dus: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ En bewegingsvergelijking wordt: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ die kan worden opgelost om positie te verkrijgen.

Om “echte” beweging te verkrijgen, blijkt dat onze benadering exact kan worden gemaakt door het zwaartepunt (CM) te beschouwen. (wat een massa is gewogen gemiddelde van de posities van twee massas in dit geval) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {We zullen aanroep aantal} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {gereduceerde massa} $$ $$ \ text {Thus}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Het kan gemakkelijk worden aangetoond dat de netto externe kracht op het systeem gelijk is aan de totale massa maal de versnelling van het massamiddelpunt. Als u niet overtuigd bent, heb ik eerder een dergelijke afleiding geschreven in deze POST

Aangezien wordt aangenomen dat er geen externe krachten aanwezig zijn (de kracht van de zwaartekracht tussen massas “telt” als interne), beweegt het massamiddelpunt met constante snelheid. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ impliceert \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Laat CM worden genomen als oorsprong van een traagheids coördinatensysteem. De positie van de twee massas wordt dus gegeven door: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ impliceert \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ impliceert \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {krijgen we:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ impliceert \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ impliceert \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Daarom zijn bewegingsvergelijkingen}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W Dit is onze vergelijking die we eerder hebben verkregen in onze benadering met verminderde massa. Merk op dat als m1 >> m2 gereduceerde massa bijna hetzelfde is als m2.

Dit de beweging van het twee lichamen systeem bestaat uit zijn CM en beweging eromheen. De beweging eromheen kan worden beschreven in termen van een enkele, gereduceerde massa die rond een vast centrum beweegt.