Om te beginnen met een huiswerkprobleem, behoorlijk lang.
Een deeltje met een massa gelijk aan 208 keer de massa van een elektron beweegt in een cirkelvormige baan rond een ladingkern $ + 3e $. Ervan uitgaande dat het Bohr-model van het atoom van toepassing is op dit systeem,
- Leid een uitdrukking af voor een straal van $ n $ th Bohr-baan.
- Vind de waarde van $ n $ waarvoor de straal gelijk is aan de stralen van de eerste baan van waterstof.
- Vind de golflengte van de straling die wordt uitgezonden wanneer het draaiende deeltje van de derde baan naar de eerste springt.
Nu, ik deed het eerste deel en kreeg het juiste antwoord. Dit is wat ik deed.
Stel dat de massa van het ronddraaiende deeltje $ M $ is, zijn snelheid $ v $ en $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatische kracht is de middelpuntzoekende kracht . Daarom
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Van het Bohr-model,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
waarbij $ h $ de constante van Planck is. Daarom,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Squaring it,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Vergelijking van de twee vergelijkingen die $ v ^ 2 $ bevatten ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Nadat we $ r $ hebben opgelost, krijgen we zoiets als dit:
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Al het bovenstaande is correct. Het probleem zit in het tweede en derde deel; wanneer ik $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ plaats, krijg ik NIET het vereiste antwoord. Om het derde deel te benaderen, ben ik begonnen met de standaard Rydberg-vergelijking,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Ik heb elke waarde geplugd, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; maar nogmaals kreeg ik het antwoord niet juist.
Het antwoord op het tweede deel is 25 $ (n = 25) $; en op het derde is 55,2 picometers.
Antwoord
Om het tweede deel te beantwoorden:
We kennen $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Deel één bevat een fout, zoals het is
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ impliceert & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
We kennen ook de Bohr-straal:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ ongeveer 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Daarom kunnen we schrijven en annuleren:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ daarom & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ daarom & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
Het derde deel:
De Rydberg-formule wordt gegeven als
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
met de Rydberg $ \ mathcal {R} $ constante gedefinieerd voor een foton uitgezonden door een elektron. We nemen aan dat de massa van de kern 7 atomaire eenheden is (drie protonen + vier neutronen). Rekening houdend met het feit dat $ m_p \ approx 1836m_e $ , komen we uit op
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nu moet de Rydberg-constante worden gewijzigd om de massa van het deeltje:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Met $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), ik moest $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Zonder rekening te houden met de verminderde massa, dwz $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ kwam ik uit op $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Beide waarden liggen redelijk dicht bij de gegeven oplossing.
(Als de vraag echt over het muon ging, is de nauwkeurigere gewichtsverhouding 206,77 en de bijbehorende golflengten 55,1 pm en 56,0 pm.)