Behoud van 4-momentum in de speciale relativiteitstheorie

Ik begrijp dat het inproduct van twee 4-vectoren behouden blijft onder de Lorentz-transformaties

Ja, $ p_1.p_2 $ is een Lorentz-invariant

Zodat de absolute waarde van de vier momentum is hetzelfde in elk referentieframe.

Het i Het is niet correct om te spreken over de “absolute waarde” van een (quadri) vector. Wat wordt bewaard in een Lorentz-transformatie is $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Dit is wat ik De gedachte werd (hoogstwaarschijnlijk ten onrechte) bedoeld met behoud van momentum.

Nee, het behoud van momentum is iets heel anders. Uiteindelijk heb je een theorie die velden en interacties beschrijft, die beschrijft door een actie die invariant is door sommige symmetrieën. Als de actie onveranderlijk is door ruimte- en tijdvertalingen, dan is er een behouden grootheid die momentum / energie is.

Ik begrijp niet waarom vergelijkingen zoals P 1 = P 2 + P 3 (P i zijn 4-momentumvectoren voor verschillende deeltjes bij een botsing bijvoorbeeld) zou moeten gelden, binnen een referentiekader. Er is mij “verteld dat je” niet vier snelheden bij elkaar kunt optellen bij botsing van deeltjes, dus waarom zou je dit kunnen doen met de momentumvectoren?

Als de theoretische actie invariant is door ruimte / tijd-translaties, dan blijft het momentum / de energie behouden, dus het totale momentum / de energie van de initiële deeltjes is hetzelfde als het totaal momentum / energie van de laatste deeltjes:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {uit} ^ \ mu \ tag {1} $$

Als er meerdere initiële deeltjes zijn, worden ze als onafhankelijk beschouwd (de globale toestand is het tensorproduct van de toestanden van de oorspronkelijke deeltjes). De onafhankelijkheid betekent dat je hebben:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ waarbij de som ongeveer is t alle eerste deeltjes. Een vergelijkbare vergelijking geldt voor de uiteindelijke deeltjes.

Als je in de speciale relativiteitstheorie twee snelheden optelt, moet je de formule

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

U kunt dus niet zomaar twee snelheden bij elkaar optellen. Snelheid is meestal geen goede variabele om mee te werken in de speciale relativiteitstheorie. Het is veel gemakkelijker om vier-momentumconservering te gebruiken, die simpelweg wordt gegeven door

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

voor een deeltjesbotsing waarbij twee deeltjes met $ p_1 $ en $ p_2 $ botsen en blijven dan bij elkaar en hebben het momentum $ p $. Aangezien het vier-momentum wordt gegeven door

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

het behoud van vier-momentum is niets anders dan het behoud van energie $ E $ en het behoud van drie-momentum $ \ vec {p} $.

Om uw vragen te beantwoorden:

Waarom kan voegen we vier impulsen toe aan een deeltjesbotsing? Omdat energie- en impulsbehoud ook in de relativiteitstheorie geldt.

Waarom kan “t voegen we vier snelheden toe bij een deeltjesbotsing? Omdat er niet zoiets bestaat als “behoud van snelheid”, noch klassiek, noch in relativiteit.

Opmerkingen

• Dit antwoord was geweldig. Ik heb een verduidelijkende vraag – zal $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ invariant zijn, dus $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Je kunt elke component gewoon verifiëren en ze zijn slechts momentumbehoud in 3-momentum. Er is geen snelheidsbehoud, dus u kunt ze niet bij elkaar optellen.