De vraag die ik heb gekregen is:
Zilveratomen in een metalen rooster vullen slechts $ 88 \, \% $ van de ruimte op ($ 12 \, \% $ is leeg). De dichtheid van zilver is $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Aangenomen dat zilveratomen harde bollen zijn ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, wanneer $ r $ een atoomstraal is), wat is dan de straal van een zilveratoom? Geef het antwoord in eenheden van $ 10 ^ {- 12} $ meter.
De atoommassa van $ \ ce {Ag} $ is 107,8682.
Mijn oplossing:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Toen schakelde ik over naar de $ 10 ^ {12} $ meters, het resultaat was $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $ en het is niet correct. Wat doe ik verkeerd?
Opmerkingen
- Ik ' heb de informatie over de atoommassa toegevoegd van $ \ ce {Ag} $ in een poging om voor u en anderen duidelijk te maken welke informatie u ' nodig zult hebben om het probleem op te lossen.
- eigenlijk Ag kristalliseert in FCC en de bollen vullen $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ ongeveer 0,74048 $$
Antwoord
Als u de eenheden in uw berekening had opgenomen, zou u hebben gemerkt waarom uw vergelijking niet correct is.
Molaire massa $ M $ wordt gedefinieerd als $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ waarbij $ m $ is massa en $ n $ is hoeveelheid substantie.
Aangezien de constante van Avogadro $ N_ \ mathrm A $ is $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ waar $ N $ is het aantal deeltjes, de massa $ m $ van één atoom $ (N = 1) $ is $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Dichtheid $ \ rho $ wordt gedefinieerd als $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ waarbij $ V $ is volume.
Het volume van een steekproef is dus $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Vergelijking gebruiken $ \ text {(3)} $ , het volume $ V $ kan worden berekend voor een enkel atoom: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Ervan uitgaande dat een fractie van $ 88 \, \% $ van het volume $ V $ is gevuld met een harde bol, het volume $ V_ \ text {sphere} $ van de bol is $$ \ begin {align} V_ \ text {sphere} & = 0.88 \ maal V \ tag7 \\ [6pt] & = 0.88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Aangezien het volume van een bol $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ waarbij $ r $ de straal van de bol is, de straal $ r $ is $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphere}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$