Een voorbeeld van een willekeurig proces wordt gegeven als:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
waarbij $ w (t) $ een witruisproces is met $ 0 $ gemiddeld en een spectrale vermogensdichtheid van $ \ frac {N_0} {2 } $, en $ f_0 $, $ A $ en $ B $ zijn constanten. Zoek de auto-correlatiefunctie.
Hier is mijn poging tot een oplossing:
Laat $ a = 2 \ pi f_0t $, en $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorrelatie van} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
De verwachtingstermen met de ruis erin zijn allemaal gelijk aan $ 0 $ (de laatste is alleen de automatische correlatie van witte ruis … vandaar de vereenvoudiging bovenstaand. Goniometrische identiteiten gebruiken: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
we hebben:
\ begin {align} \ text {Autocorrelatie van} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
We hebben te maken met constante termen, dus de verwachtingstermijn verdwijnt en als we onze initiële voorwaarden onderschrijven, krijgen we: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ links [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Om de een of andere reden kan ik het niet helpen, maar ik heb het gevoel dat ik iets verkeerd heb gedaan door die autocorrelatie te berekenen … het zou een functie moeten zijn van $ \ tau $, maar heeft een $ t $ is daar … Ik zou het zeer op prijs stellen als iemand me in de goede richting zou kunnen wijzen, of zou kunnen uitleggen wat ik heb verknoeid. Ik weet niet of het er toe doet, maar in deze klas hebben we alleen te maken met stationaire processen met een brede betekenis.
Opmerkingen
- Tenzij u dat bent zeker dat het willekeurige proces $ x (t) $ WSS is, je moet niet verwachten dat zijn ACF een functie is van alleen $ \ tau $. Daarom lijkt het hier correct om de termen $ t $ op te nemen. Maar ik denk dat die cosinus term binnen $ x (t) $ ofwel een willekeurige amplitude ofwel een willekeurige fase kan bevatten die je vergeet te typen, dan heb je misschien een kans om het tijdselement $ t $ kwijt te raken als je zo graag wilt dus …
- Het proces $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ is een cyclostationair proces (voldoet aan de stationaire vereisten voor die time-offsets die zijn veelvouden van $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) en helemaal geen WSS-proces. Merk bijvoorbeeld op dat zelfs de gemiddelde functie $ E [x (t)] $ geen constante is zoals het zou moeten zijn voor een WSS-proces. Zoals @ Fat32 zegt (+1), ben je misschien vergeten een willekeurige fase $ \ Theta $ op te nemen in je $ x (t) $ -definitie (de benodigde eigenschap voor WS stationair is dat $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ wat geldt voor $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ of $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ voor $ n = 0,1,2,3 $).
Antwoord
Ik denk dat je “heb bijna alles goed gedaan, maar heb een probleem bij het berekenen van de verwachtingswaarde met betrekking tot $ t $. Je moet de verwachtingswaarde van de cosinusfunctie berekenen. Helaas gaat het niet zomaar” weg “zoals je schreef.
Bekijk de Wikipedia-pagina . Daar kun je een andere, meer expliciete formule vinden voor de autocorrelatiefunctie van een functie $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Merk op dat ik in vergelijking met de Wikipedia-pagina de vrijheid heb genomen om de variabele $ t $ in de integratie te gebruiken in plaats van $ u $, whi ch zou de mathematisch nauwkeurigere versie zijn.)
Zoals je uit deze vergelijking kunt zien, integreer je de afhankelijkheid van t, en zou je inderdaad een functie moeten hebben die onafhankelijk is van $ t $.
Merk op dat er ook een versie is die niet naar oneindige tijden gaat, maar beperkt is tot een periode $ T $. Misschien is deze versie in uw geval geschikter.Hetzelfde geldt echter voor deze versie: $ t $ is geïntegreerd en mag geen variabele zijn in de resulterende formule.
Opmerkingen
- Jij mengen twee verschillende begrippen wanneer u ” schrijft. Zoals u kunt zien aan de hand van deze vergelijking, ” integreert u ” de afhankelijkheid van $ t $, en je zou inderdaad een functie moeten hebben die onafhankelijk is van $ t $ ”
- Je kunt neem ook de formule van de Wikipedia-pagina zonder $ t $ en schrijf $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limieten _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Het belangrijkste is hier in beide gevallen dat het argument van de functie $ f $ t is en is geïntegreerd – dus heb je de $ t $ niet meer in het eindresultaat, maar alleen $ \ tau $.
- @Dilip Je kunt hier ook een kijkje nemen ocw.mit.edu/ourses/mechanical-engineering/… – dit is in feite het eerste resultaat na een eenvoudige Google-zoekopdracht. Daar staat op pagina 22-2 (pagina 3 in de pdf) een voorbeeld van een autocorrelatiefunctie, die werd berekend met deze formule en onafhankelijk is van $ t $. Ook kun je de wiskundig niet zo gezonde integrale notatie vinden op de vorige pagina.
- Het is verre van mij om de geldigheid van een formule in twijfel te trekken waarvan je beweert dat deze op Wikipedia te vinden is of wordt gegeven in een MIT online cursus, maar het lijkt mij dat in \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} die tweede integraal op die tweede regel (waarvan integrand een constante is tov $ t $) divergeert tenzij $ \ tau $ toevallig een zodanige waarde heeft dat $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Je hebt gelijk, deze integraal divergeert. Zelfs de eerste integraal is niet zinvol, omdat deze niet convergeert. Om deze reden is er de laatste alinea in mijn antwoord.