Bewijs van zwakkere Baker-Campbell-Hausdorff-formule [duplicate]

Ten eerste ga ik uit van eindige dimensionale operatoren: anders moet je bepaalde begrenzingsvoorwaarden op de operatoren controleren. Omdat de CBH-reeks hier wordt afgekapt door de verdwijnende dubbele commutatoren, zijn de voorwaarden voor lineaire operatoren op bijv. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ mild.

U moet bewerkingen oefenen met $ \ mathrm {Ad} $. Zoek het volgende op. In de Lie-groep $ \ mathfrak {G} $ met algebra $ \ mathfrak {g} $ de raakvector aan het pad:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

bij de identiteit is $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Hier is $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ naar GL (\ mathfrak {g}) $ de Adjoint-weergave . Het is een Lie-groep-homomorfisme van de algemene Lie-groep $ \ mathfrak {G} $ naar de matrix Lie-groep $ GL (\ mathfrak {g}) $. De kernel is het centrum van $ \ mathfrak {G} $. Omdat het een homomorfisme is, hebben we $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Een andere nuttige identiteit is:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

en deze reeks is universeel convergent als de operator $ B \ mapsto [A, \, B] $ geschikt is begrensd ( bijv. $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ voor enige $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – dit is zeker waar in eindige dimensies).

Nu, door (1) en de homomorfisme-eigenschap ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), vindt u dat:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Al het bovenstaande is perfect algemeen. U moet het specialiseren voor uw ingekorte zaak. Gebruik dus de universeel convergente (en hier afgekapt tot twee termen) reeks (2) om $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ en verkort het voor uw speciale geval en ik denk dat u wat vooruitgang moet boeken.

Een pedante irritatie: hoewel beide volgordes voor de naam vrij gebruikelijk zijn, is de volgorde die nauwkeurig de historische prioriteit weergeeft Campbell-Baker-Hausdorff, aangezien elk van de auteurs hun bijdragen leverde in 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) en 1906 (Hausdorff ), respectievelijk. Elk was zich bewust van het werk van hun voorlopers, maar, zoals vermeld in Fascicule 16 Ch 1 van Bourbaki (1960), vond elk de demonstraties van zijn voorlopers niet overtuigend (!). Die uitspraak doet me altijd giechelen en geeft enige troost dat ik “Ik ben niet de enige met een begripspercentage van ongeveer 5% in het lezen van technische literatuur (ik denk dat ik een paper gemiddeld 20 keer moet lezen om het te begrijpen). Een grappig feit is dat geen van deze drie de serie daadwerkelijk heeft uitgewerkt. In plaats daarvan stelden ze de stelling vast dat de reeks convergerend was binnen een of andere buurt van $ \ mathbf {0} $ in de Lie-algebra en alleen lineaire bewerkingen en Lie-bracket-bewerkingen omvat. De formule zelf is te danken aan Dynkin en werd volledig uitgewerkt in 1947!

Reacties

• Heel erg bedankt voor je antwoord! Ik ' zal mijn best doen om uw antwoord te bestuderen, ondanks mijn kleine inleidende kennis van leugengroepen en algebras.
• @quarkleptonboson I ' heb nog een stap toegevoegd aan Eq. (3) om u te helpen.Denk aan alle operatoren als vierkante $ N \ maal N $ matrices en alle Lie-haakjes en vermenigvuldigingen worden dan concrete matrixvermenigvuldigingen. (2) is altijd een letterlijke matrix-machtreeks, aangezien de groep omkeerbare lineaire transformaties op $ \ mathfrak {g} $ altijd een matrixgroep is.