De representatie voor het model AR (1) is als volgt:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
waarbij $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ is een constante).
Ik wil de berekeningen begrijpen die daar staan achter de algemene formule van de autocovariantie van AR (1), die $ γ (h) = \ operatornaam {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Tot dusver heb ik de volgende stappen uitgevoerd: ik ben begonnen met $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatornaam {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatornaam {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatornaam {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatornaam {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operatornaam {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Zoals je kunt zien, kan ik vanaf dit punt “niet verder gaan omdat ik niet weet welke de waarden zijn van $ \ operatornaam {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ en $ \ operatornaam {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Alle hulp wordt zeer op prijs gesteld. Bij voorbaat dank.
Antwoord
Laten we $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
sinds $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (dwz uitvoer uit het verleden is onafhankelijk van toekomstige invoer).
Evenzo $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Als we op deze manier doorgaan, krijgen we $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , waarbij $ h \ geq0 $ . Generaliseren voor negatieve $ h $ opbrengsten $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , waarbij $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS bij al deze analyses wordt ervan uitgegaan dat $ \ epsilon_t $ WSS is, daarom $ y_t $ van de LTI-filtereigenschap.
Reacties
- er is een typefout in de eerste regel .. identiteitsteken verkeerd geplaatst.
- In de eerste regel zou ik vervang het 3e ” + ” teken door het ” = ” sign: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Terwijl ik probeerde de typefout te bewerken die door @Jesper werd aangepakt, heb ik dat specifieke = -teken omgezet naar + teken, en maakte het nog meer verkeerd :). Ik zie dat de reden is vanwege weergave. Hoewel de tex-instructies correct zijn, werden ze in een andere volgorde weergegeven. Hoe dan ook, ik ‘ heb gebruik gemaakt van align-statements en heb het veel duidelijker gemaakt. Hoop, het ‘ is ok.
- Is de uitdrukking voor voorwaardelijke auto-covariantie hetzelfde? Dat wil zeggen: $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ wacht?
Antwoord
Beginnend met wat u heeft opgegeven:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Waarbij $ c = (1 – \ phi) \ mu $
We kunnen $ (1) $
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Dan,
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Als we $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ laten, dan is vergelijking $ (2) $ kan worden geschreven als:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Variantie
De variantie van $ (3) $ wordt verkregen door de uitdrukking te kwadrateren en verwachtingen te nemen, die eindigt op:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Neem nu de verwachting:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Haar e noemen we:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ is de variantie van het stationaire proces.
- De tweede term aan de rechterkant van de vergelijking is nul omdat $ \ tilde {y} _ {t-1} $ en $ \ epsilon_ {t} $ zijn onafhankelijk en hebben beide geen verwachting.
- De laatste term aan de rechterkant is de variantie van de innovatie, aangeduid als $ \ sigma ^ {2} $ (merk op dat er geen subscript hiervoor).
Tot slot
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Als we de variantie van het proces oplossen, namelijk $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , we hebben:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autocovariantie
We gaan dezelfde truc gebruiken die we gebruiken voor formule $ (3) $ . De autocovariantie tussen waarnemingen gescheiden door $ h $ punten is dan:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
De innovaties zijn niet gecorreleerd met de waarden uit het verleden van de reeks, dan $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ en we blijven over met:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
Voor $ h = 1, 2, \ ldots $ en met $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
Voor het specifieke geval van de $ AR (1) $ , vergelijking $ (5) $ wordt:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
En gebruikmakend van het resultaat van vergelijking $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ eindigen we met
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Oorspronkelijke bron: Andrés M. Alonso & Dias van Carolina García-Martos. Hier beschikbaar: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf