Om de kwadratische term in het antiferromagneet Heisenberg-model te diagonaliseren, kunnen we de Bogoliubov-transformatie introduceren: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Deze transformatie kan de kwadratische term in de Hamiltoniaan diagonaliseren:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
met $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Maar de transformatie U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ is niet unitair, omdat $ u_k, v_k $ echt zijn, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Is het aantal bosonen niet behouden , dus de transformatie is misschien niet unitair? Gelden er beperkingen voor de transformatie van boson?
Opmerkingen
- Waar het om gaat is dat, na de transformatie, de standaard commutatierelaties nog steeds gelden.
- gerelateerd: physics.stackexchange.com/q/53158
Antwoord
Je hebt gelijk, Bogoliubov-transformaties zijn in het algemeen niet unitair. Per definitie
Bogoliubov-transformaties zijn lineaire transformaties van creatie / annihilatie-operatoren die de algebraïsche relaties behouden onder hen.
De algebraïsche relaties zijn voornamelijk de commutatie / anticommutatierelaties die de bosonische / fermionische operatoren definiëren. Nergens in de definitie hebben we gespecificeerd dat de transformatie unitair moet zijn. In feite is de Bogoliubov-transformatie (in zijn meest algemene vorm) symplectisch voor bosonen en orthogonaal voor fermionen . In geen van beide gevallen is de Bogoliubov-transformatie unitair. De bogoliubov-transformatie van bosonen komt overeen met de lineaire canonieke transformatie van oscillatoren in de klassieke mechanica (omdat bosonen kwanta van oscillatoren zijn), en we weten dat de lineaire canonieke transformaties symplectisch zijn vanwege de symplectische structuur van de klassieke faseruimte.
Dus om specifieker te zijn, wat zijn de beperkingen voor Bogoliubov-transformaties? Laten we eens kijken naar het geval van $ n $ enkele deeltje modi van ofwel bosonen $ b_i $ of fermionen $ f_i $ (waarbij $ i = 1,2, \ cdots, n $ de enkelvoudige deeltjestoestanden labelt, zoals momentum eigentoestanden). Zowel $ b_i $ als $ f_i $ zijn geen hermitische operatoren, die niet echt handig zijn voor een algemene behandeling (omdat we $ b_i $ en $ b_i ^ \ dagger $ niet eenvoudig als onafhankelijke basis kunnen beschouwen, aangezien ze nog steeds verwant zijn door de deeltjes-gat transformatie). Daarom kiezen we ervoor om de operatoren te herschrijven als de volgende lineaire combinaties (gemotiveerd door het idee om een complex getal op te splitsen in twee reële getallen zoals $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ waarbij $ a_i = a_i ^ \ dagger $ en $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (voor $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) zijn hermitische operatoren (analoog aan reële getallen).Ze moeten de commutatie- of anticommutatierelaties erven van de “complexe” bosonen $ b_i $ en fermionen $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ waarbij $ g_ {ij} ^ a $ en $ g_ {ij} ^ c $ worden soms de kwantummetriek genoemd voor respectievelijk bosonen en fermionen. In matrixformulieren worden ze gegeven door $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ keer n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ waarbij $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ de $ n \ times n $ identiteitsmatrix is. Dus om de algebraïsche relaties tussen de creatie / vernietigingsoperatoren te behouden, is de kwantummetriek te behouden . Algemene lineaire transformaties van de operatoren $ a_i $ en $ c_i $ nemen de vorm aan van $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ waarbij de transformatiematrixelementen $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ echt moeten zijn, om ervoor te zorgen dat de operatoren $ a_i $ en $ c_i $ blijven Hermitian na de transformatie. Om de kwantummetriek te behouden, is $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c nodig. $$ Dus alle echte lineaire transformatie die aan de bovenstaande voorwaarden voldoet, is een bogoliubov-transformatie in de meest algemene zin. Afhankelijk van de eigenschap van de kwantummetriek, is de Bogoliubov-transformatie ofwel symplectisch ofwel orthogonaal. Voor de bosonische kwantummetriek is $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymmetrisch , dus de transformatie $ W ^ a $ is symplectisch . Voor de fermionische kwantummetriek is $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symmetrisch , dus de transformatie $ W ^ c $ is orthogonaal .
Opmerkingen
- Kan iemand een bron aanbevelen om meer te weten te komen over dit formalisme, dwz de ontleding van de aanmaak / vernietigingsoperatoren als ” complexe getallen ” en het behoud van de kwantummetriek?
Antwoord
De unitariteit van een kwantummechanische transformatie wordt niet bepaald door hoe het creatie- en annihilatieoperatoren combineert. (Het maakt niet uit wat voor soort matrix — orthogonaal, symplectisch of unitair — bij het mixen betrokken is!) zou moeten onderzoeken of de transformatie geassocieerd is met een unitaire operator die inwerkt op de Hilbertruimte.
Het genoemde Bogoliubov transformatie OP kan als volgt worden weergegeven ($ \ textbf {k} $ – afhankelijkheid wordt onderdrukt): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ waarbij $ \ lambda $ een reëel getal is. Deze transformatie is unitair als en slechts als er een unitaire operator bestaat $ U $ zodanig dat $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Inderdaad, deze relaties worden vervuld met de volgende keuze: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ dus de transformatie is unitair.
Antwoord
Laat me werken aan dit deel van de matrixvergelijking $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ som _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Het belangrijkste is dat de transformatie van de velden zowel te zien is als een transformatie vorming van de matrix $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ waar $ M ^ \ dagger ~ = ~ M $. De determinant hiervan is $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ De determinant van $ M $ geeft dan $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Deze kunnen dan worden weergegeven door $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ en $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Evalueer nu de commutator $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Voor de commuators $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ en we zien dan $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Hetzelfde geldt duidelijk voor $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Dit betekent dat elk systeem met $ N \ hbar $ actie-eenheden constant is. Er is geen verandering in het faseruimtevolume van het systeem. dit betekent dan dat Bogoliubov-transformaties in feite unitair zijn.
Opmerkingen
- Dus de algemene unitaire transformaties ‘ s definitie zijn langer $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ die we uit het leerboek leren? Ik begrijp ‘ niet ‘ Dit betekent dat elk systeem met Nℏ actie-eenheden constant is. Er is geen verandering in het faseruimtevolume van het systeem ‘, zou je dit willen uitleggen?
- Overigens gelden er beperkingen voor de transformatie van bosonsysteem (Hamiltoniaan)?
- @ZJX Ik begrijp niet ‘ waarom Lawrence zei dat de bosonische Bogoliubov-transformaties ” feitelijk unitair “. Ik denk dat ze in het algemeen symplectisch moeten zijn. De beperking komt voort uit het behoud van de definitie van de bosonische operatoren (zodat bosonische operatoren bosonisch blijven tijdens de transformatie). Er is geen beperking vanuit het bosonische systeem (Hamiltoniaan). Zolang de Hamiltoniaan hermitisch is, is het een legitieme Hamiltoniaan. Elke symplectische transformatie toegepast op de Hamiltoniaan is een legitieme Bogoliubov-transformatie.
Antwoord
Nee, het is unitair transformatie, maar alleen als je het gat van het Hamiltoniaanse elektron & samen beschouwt.
Opmerkingen
- Maar hier gaat het model over spin, het is ‘ niet het fermion, toch?