Hier willen we aantonen dat de Box-Muller-methode een paar onafhankelijke standaard Gaussiaanse willekeurige variabelen . Maar ik begrijp niet waarom we de determinant gebruiken? Voor mij, als je twee onafhankelijke variabelen hebt, is de gewrichtsdichtheidsfunctie alleen het product van de twee dichtheidsfunctie. Iemand kan me hier de betekenis van de determinant uitleggen? Alsjeblieft.
Opmerkingen
- Er is een " wijziging van variabelen " betrokken bij het gaan van X naar Y en daarom heb je om te vermenigvuldigen met de Jacobiaan van de transformatie die de determinant is die je hierboven ziet. Zie bijvoorbeeld Proposition 8 hier math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Oké, ik begrijp het, bedankt Alex voor je antwoord.
Antwoord
Laat $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, we hebben
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ is uniform gedefinieerd op $ [0, 1] $, dus $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ inderdaad $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Daarom wordt $ X_2 $ uniform verdeeld over $ [0,1] $, dus $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Aangezien $ X_1 $ en $ X_2 $ onafhankelijk zijn, $ Z $ en $ W $ moeten onafhankelijk zijn. We hebben $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ over (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {en} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definieer functie $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ naar \ mathbb {R} ^ 2 $ zodat $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ dus $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ met andere woorden $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ we kunnen gemakkelijk $$ z weergeven = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ dan $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Antwoord
Het is duidelijk dat $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ en dat $ Y_2 \ meer dan Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Daarom $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ en $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ meer dan 2} $ .
Differentiaal nemen om $ dX_1 = {1 \ meer dan {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ meer dan {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Evenzo $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ meer dan 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Vandaar Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ meer dan {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ meer dan {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ meer dan 2 } $ .
Voor pdfs, als $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ meer dan {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
het geeft $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ meer dan {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ meer dan 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ meer dan 2} $
waaruit blijkt dat $ Y_1, Y_2 $ onafhankelijke Gaussiaanse willekeurige variabelen zijn.
Commen ts
- bereik van $ X_1 $ zou (0,1) moeten zijn, maar $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ is $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $