Coulomb ' s wet: waarom is $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicate]

Het symbool $ k definiëren $ in de wet van Coulomb, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ wordt $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, is perfect toegestaan wanneer men het eenvoudig begrijpt als een definitie van $ \ epsilon_0 $. De motivatie voor deze definitie is dat wanneer je de krachten tussen twee tegengesteld geladen platen van gebied $ A $ uitwerkt en $ Q $ een afstand $ d $ uit elkaar rekent, ze uit als $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, waarbij de factor $ 4 \ pi $ afkomstig is van een oordeelkundige toepassing van Gauss s wet.

Wanneer je dit verder ontwikkelt tot een theorie van capaciteit, ontdek je dat dit impliceert dat de spanning tussen de platen $ V = Q / C $ is, waarbij $ C = \ epsilon_0 A / d $. Verder, als je een diëlektricum tussen de platen wilt plaatsen (zoals je vaak doet), dan verandert de capaciteit in $$ C = \ epsilon A / d $$ waar $ \ epsilon $ bekend staat als de elektrische permittiviteit van het diëlektricum . $ \ epsilon_0 $ wordt dan natuurlijk begrepen als “de permittiviteit van vrije ruimte” (wat natuurlijk eenvoudig definieert wat we bedoelen met permittiviteit).

De vraag is dan natuurlijk, waarom is dit “afgeleid “unit, $ \ epsilon_0 $, behandeld als meer” fundamenteel “dan de oorspronkelijke $ k $? Het antwoord is dat dit niet het geval is omdat ze equivalent zijn, maar de permittiviteit van vrije ruimte is veel gemakkelijker te meten (en was dat zeker tijdens de late 19e en vroege 20e eeuw, toen elektrisch onderzoek erg gericht was op circuitgebaseerde technologieën), zodat het als winnaar uitkwam, en waarom zijn er twee symbolen voor equivalente hoeveelheden?

De eenheid van de seconde wordt gedefinieerd is de tijdsduur van een bepaald aantal perioden van straling uitgezonden door een deel iculair type elektronovergang tussen energieniveaus in een isotype van cesium (zie hier ).

Aangenomen wordt dat licht reist met een constante snelheid $ c $ onafhankelijk van iemands referentieframe, dus nu we een tijdseenheid hebben vastgesteld, kunnen we een lengte-eenheid definiëren: de meter is de afstand die licht aflegt in $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

We definiëren ook de SI-eenheid van stroom (de Ampère) zodat de permeabiliteit van vrije ruimte een gewenste waarde krijgt in SI-eenheden ($ 4 \ pi \ maal 10 ^ {- 7} $).

We kunnen dan ook $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ definiëren als $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Houd er rekening mee dat u geen systeem van eenheden hoeft te repareren om dit te doen (zoals ik eerder deed). Aangezien de bovenstaande definities zijn, kunnen ze in elk systeem van eenheden worden gebruikt. Om te zien dat deze definities echter niet circulair worden, helpt het om te zien dat we $ \ mu _0 $ en $ c $ kunnen definiëren in termen van puur fysieke verschijnselen. Met andere woorden, om de bovenstaande definities zelfs maar logisch te maken, moesten we weten dat we eerst $ c $ en $ \ mu _0 $ onafhankelijk van $ \ varepsilon _0 $ en $ k $ konden definiëren. De bovenstaande definitie van SI-eenheden helpt je te zien dat dit mogelijk is.

Opmerkingen

• Dit is allemaal aan het veranderen met het nieuwe systeem van SI. Hoewel $ c $ is opgelost, zijn $ \ mu_0 $ en $ \ epsilon_0 $ dat niet.

Als de vraag is waarom de “$ 4 \ pi $” in de Coulomb-constante (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), dan zou een even geldige vraag kunnen zijn waarom de “4 $ \ pi $” in de magnetische permeabiliteit van vacuüm, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Misschien is er een aanwijzing te vinden in de vergelijking van Maxwell voor de snelheid van elektromagnetische golven (licht) in een vacuüm, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Natuurlijk heeft Maxwell deze relatie veel later afgeleid dan Coulomb.

Maxwell vertelt de elektrische permeabiliteit voor magnetische permeabiliteit in het vacuüm, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ die een waarde krijgt van $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ in SI-eenheden.

De “reden” voor de “$ 4 \ pi $” die hier verschijnt en in de constante van Coulomb (geloof het of niet) dus dat de vergelijkingen van Maxwell kunnen worden geschreven zonder $ 4 \ pi $ “-factoren!

Om dit te begrijpen, moet u overwegen hoe elektrostatische verschijnselen worden uitgedrukt in de wet van Coulomb als” veld intensiteit op een afstand in het kwadraat “, vergeleken met (het equivalent) Gauss” wet, die de “flux door een gesloten oppervlak dat de lading omsluit” beschrijft.

De totale flux is de fluxdichtheid vermenigvuldigd met het oppervlak , die voor een bol met straal $ r $ wordt gegeven door $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, dus de verhouding $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ is gewoon het resultaat van de geometrie van ruimte en sferische symmetrie.

Het SI-systeem van eenheden (in tegenstelling tot de Gauss-eenheden) wordt “gerationaliseerd” genoemd omdat het de uitdrukking van Maxwells vergelijkingen mogelijk maakt zonder de $ 4 \ pi $ factoren. Om dit te doen, is de $ 4 \ pi $ -factor simpelweg “ingebouwd” in de (SI-eenheid) definitie van de universele constante voor de permeabiliteit van het vacuüm, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, waaruit we de constante van Coulomb kunnen uitdrukken als k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.