De Bloch-bol is prachtig minimalistisch.

Conventioneel heeft een qubit vier echte parameters; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Maar een snel inzicht leert dat de $ a $ -vs- $ b $ afweging heeft slechts één vrijheidsgraad vanwege de normalisatie $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ en wat nauwkeuriger inzicht onthult dat, in de manier waarop we verwachtingswaarden construeren in QM, je $ \ chi $ of $ \ phi $ zelf, maar alleen het verschil $ \ chi – \ phi $ , dat is $ 2 \ pi $ -periodiek. (Dit wordt verder behandeld in de opmerkingen hieronder, maar kort: QM voorspelt alleen gemiddelden $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ en verschuift de algehele fase van een golffunctie door een $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ annuleert zichzelf daarom in elke voorspelling.)

Dus als je hoogstens abstract denkt over wat je nodig hebt, trek je gewoon een lijn van 0 naar 1 die de $ a $ -vs vertegenwoordigt – $ b $ afweging: hoeveel is dit in een van deze twee staten? Vervolgens teken je er cirkels omheen: hoeveel is het faseverschil? Wat ervoor zorgt dat het geen cilinder is, is dat het faseverschil er niet meer toe doet wanneer $ a = 1 $ of $ b = 1 $ , daarom moeten de cirkels tot punten krimpen. Et voila , je hebt iets dat topologisch equivalent is aan een bol. De bol bevat alle informatie die je nodig hebt voor experimenten, en verder niets.

Het is ook fysiek, een echte bol in 3D-ruimte.

Dit is het meest schokkende feit. Gezien alleen het simpele plaatje hierboven, zou je kunnen denken dat dit allemaal onschadelijke wiskunde was: nee! In feite is de typische qubit een spin- $ \ frac 12 $ -systeem, waarbij de Pauli-matrices aangeven hoe het systeem rond de $ x $ , $ y $ of $ z $ assen. Dit is een systeem waarin we $ | 0 \ rangle $ identificeren met $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ met $ | \ downarrow \ rangle $ , en het faseverschil komt binnen door de $ + x $ -as kiezen via $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

De orthogonale richtingen van de ruimte zijn niet Hilbert-orthogonaal in de QM-behandeling, want dat is gewoon niet hoe de fysica van dit systeem werkt. Hilbert-orthogonale toestanden zijn incommensureerd: als je je in deze staat bevindt, ben je zeker niet in die staat.Maar dit systeem heeft een spin met een duidelijke totale grootte van $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , maar alleen $ \ hbar / 2 $ ervan wijst in de richting waar het “het meest op wijst”, wat betekent dat het moet worden verdeeld over een soort “ring” rond die richting. Dienovereenkomstig, wanneer u meet dat het zich in de $ + z $ -richting bevindt, blijkt dat het ook ongeveer de helft is in de $ + x $ , de helft in de $ – x $ richting. (Hier betekent “soort van”: het is, als u een $ x $ -meting uitvoert.)

Laten we dus vragen ” in welke richting draait de spin- $ \ frac12 $ het meest rond? ” Dit vereist het construeren van een waarneembaar. Om een voorbeeld te geven: als de $ + z $ -richting het meest wordt ingesponnen door een staat $ | \ uparrow \ rangle $ dan is het waarneembare voor $ z $ -spin de Pauli-matrix $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ in die staat, $ -1 $ in de Hilbert-loodrechte toestand $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Op dezelfde manier als je kijkt naar $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ je zult zien dat de $ | {+ x} \ rangle $ toestand hierboven gedefinieerd een eigenvector is met eigenwaarde +1 en op dezelfde manier zou er een $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ moeten zijn die voldoet aan $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ en u kunt $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Dan staat de staat orthogonaal op $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ is $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ dus het waarneembare dat +1 is in die staat of -1 in de tegenovergestelde staat is: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ einde {align} $$ Dit schrijven als $ v_i \ sigma_i $ waarbij de $ \ sigma_i $ zijn de Pauli-matrices die we krijgen: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Laten nu $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ en $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ zien we dat dit zijn: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Dus het Bloch-recept gebruikt een $ (\ theta, \ phi) $ , die eenvoudigweg de sferische coördinaten zijn van het punt op de bol waarvan zon $ | \ psi \ rangle $ “het meest in de richting van draait”.

Dus in plaats van puur theoretisch te zijn visualisatie, kunnen we zeggen dat het spin- $ \ frac 12 $ -systeem, de prototypische qubit, in feite draait in de richting die wordt gegeven door de Bloch-bolcoördinaten! (Althans, voor zover een spin-up systeem draait.) Het is meedogenloos fysiek : je wilt het wegzwaaien naar een wiskundig hoekje en het zegt: “Nee, voor echte systemen ben ik wees in deze richting in echte 3D-ruimte en je moet op mij letten. ”

Hoe deze je vragen beantwoorden.

1. Ja, N en S zijn ruimtelijk parallel maar in de Hilbertruimte zijn ze orthogonaal. Deze Hilbert-orthogonaliteit betekent dat een systeem niet zowel spin-up als spin-down kan zijn.Omgekeerd betekent het ontbreken van Hilbert-orthogonaliteit tussen bijvoorbeeld de $ z $ en $ x $ richtingen dat wanneer u de $ z $ -spin meet, kunt u nog steeds niet-nulmetingen van de spin hebben in de $ x $ -richting, wat een belangrijk kenmerk is van dergelijke systemen. Het is inderdaad een beetje verwarrend om twee verschillende noties van orthogonaal te hebben, één voor fysieke ruimte en één voor de Hilbertruimte, maar het komt doordat je twee verschillende ruimtes hebt waarnaar je kijkt.

2. Een manier om te zien waarom de hoeken fysiek erg handig zijn, wordt hierboven gegeven. Maar zoals vermeld in het eerste deel, kun je het ook zien als een puur wiskundige oefening waarbij je probeert de configuratieruimte te beschrijven met een bol: dan heb je natuurlijk de poolhoek als het faseverschil, dat is $ 2 \ pi $ -periodiek, dus dat is van nature een azimutale coördinaat; daarom moet de manier waarop de coördinaat langs 0/1 ligt een polaire coördinaat zijn met $ 0 $ toewijzing aan $ | 0 \ rangle $ en $ \ pi $ toewijzing aan $ | 1 \ rangle $ . De voor de hand liggende manier om dit te doen is met $ \ cos (\ theta / 2) $ -toewijzing van 1 naar 0 langs dit bereik, als de amplitude voor de $ | 0 \ rangle $ state; het feit dat $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ betekent dat de $ | 1 \ rangle $ staat moet een $ \ sin (\ theta / 2) $ amplitude oppikken om ermee te matchen.

Reacties

• Ik heb een gelijkaardige verwarring over de Bloch-bol als het OP. Kunt u misschien een beetje uitleggen wat u bedoelt met ” en wat nauwkeuriger inzicht onthult dat, in de manier waarop we verwachtingswaarden construeren in QM, u $ \ chi $ en $ \ niet kunt waarnemen phi $ zelf, maar alleen het verschil $ \ chi – \ phi $, dat is $ 2 \ pi $ -periodic “?
• @Moses: zeker. alle voorspellingen van QM zijn verwachtingswaarden in de vorm $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Bereken dit voor $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ met $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (dus $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) om $ \ langle te vinden A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Nee verwachtingswaarde onthult daarom alles over $ \ phi $ of $ \ chi $ zelf, maar alleen potentieel $ \ delta = \ phi- \ chi $ via deze $ e ^ {i \ delta} $ term die duidelijk $ 2 \ pi $ – is periodiek in $ x $.
• Meer in het algemeen is de globale fase van een golffunctie niet waarneembaar; deze verwachtinghaakjes zeggen dat de verwachtingen in staat $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ $$ \ langle A \ rangle_ moeten zijn {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Het kan OP helpen om de natuurlijkheid van $ \ frac {\ theta} {2} $ te internaliseren om erop te wijzen dat het overeenkomt met het feit dat we te maken hebben met een spin – $ \ frac {1} {2} $ deeltje. De halve draai leidt ertoe dat de rotatiegeneratoren niet $ \ sigma $ zijn, maar eerder $ \ frac {\ sigma} {2} $ (om de eigenwaarde $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $ te behouden). Dus de transformatie die inwerkt op de toestand voor een fysieke rotatie van $ \ theta $ wordt $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – wat leidt tot een rotatie van $ \ frac {\ theta} {2} $ voor de staat.
• Waarom hebben we een 3D-bol nodig en niet alleen een cirkel in een vlak? Als we ons de qubit voorstellen als de 2 mogelijke waarden van de spin van een atoom of zijn superpositie … Wat is ‘ is de fysieke betekenis van de azimutale hoek ϕ?

U kunt punten op het oppervlak van een eenheidsbol op de volgende eenvoudige manier associëren met pure spintoestanden.

Een punt van de bol $ (n_x, n_y, n_z) $ wordt geassocieerd met een eigenvector van de operator $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ met een positieve eigenwaarde en vice versa. Dit omvat alle spin-toestanden van een 1/2 enkele deeltje.

En dit is niet willekeurig of visualisatie of wiskunde. Als je een Stern-Gerlach-apparaat hebt met een inhomogeniteit van het magnetisch veld dat in de richting $ (n_x, n_y, n_z) $ wijst, dan zal het die straal consequent in een bepaalde richting afbuigen wanneer het die toestand heeft die eigen is aan $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Maar is dit niet erg verwarrend? Als de noord- en zuidpool worden gekozen, dan zijn beide staten op dezelfde regel en niet meer orthogonaal,

Het is in het minst niet verwarrend. De geometrie is gerelateerd aan de oriëntatie van het fysieke apparaat in het laboratorium waarnaar uw toestand betrouwbare resultaten geeft.Het tegenovergestelde apparaat geeft ook betrouwbare resultaten. Dit is gebruikelijk voor orthogonale toestanden dat teonorthgonale toestanden eigen kunnen zijn aan dezelfde operator.

Dus verschillende punten van de Bloch-bol identificeren verschillende oriëntaties die het “op” -resultaat geven voor verschillende toestanden. Verwar de oriëntatie van het meetinstrument in de 3D-ruimte niet met de geometrie van de toestanden in de spinruimte.

dus hoe kan men een willekeurig punt $ kiezen p $ op het oppervlak van de bol en eventueel ontleden in termen van $ 0,1 $ staten om $ a $ en $ b $ te vinden?

Het is andersom. Hoe heb je besloten om de een of andere staat 0 en een andere 1 te bellen? Je koos een willekeurige oriëntatie en noemde het z en oriënteerde je apparaat om de inhomogeniteit van het magnetische veld op die manier te laten wijzen. Dat gaf je een op en neer.

Maar nu kunnen we elke spintoestand specificeren. Je hebt hetzelfde, je hebt een willekeurig punt $ (n_x, n_y, n_z) $ en zoek dan de eigenvector van $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Met een positieve eigenwaarde. Noem het $ \ left | s \ right \ rangle, $ dan $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ dus er zijn je $ a $ en $ b $ behalve dat je de algehele fase en magnitude niet kent, maar een spintoestand van een enkel deeltje heeft er geen van .

Betekent dit dat men de Bloch-bol niet als een geldige basis voor ons systeem moet beschouwen en dat het slechts een visualisatiehulpmiddel is? / p>

Nee, het betekent dat je geometrie in het laboratorium niet moet verwarren met de geometrie van de Hilbertruimte. Fysica is een experimentele wetenschap, dus dat zijn ze zeker gerelateerd, maar ze zijn niet hetzelfde.

Als je een vector op een eigenruimte wilt projecteren, projecteer je de labels niet op elkaar. Je kunt een spintoestand hebben en een andere spintoestand en wanneer je de ene door een Stern-Gerlach-apparaat haalt dat op de andere is gericht, worden de ruimtelijke vrijheidsgraden gesplitst en gescheiden in een die in die richting en een die ruimtelijk daaronder ligt richting en de rotatietoestand veranderen letterlijk om omhoog te wijzen in de straal die ruimtelijk omhoog ging en naar beneden te wijzen in de straal die omlaag ging. Dus de spin van het ene deeltje is verstrengeld geraakt met zijn eigen positie.

De grootte van de Hilbert-projectie vertelt je de grootte van de ruimtelijke delen die zijn afgebogen en gespleten. Maar je hebt ook niet letterlijk om dergelijke regels te onthouden. Als je de Schrödinger-vergelijking voor het Stern-Gerlach-apparaat opschrijft, splitst en splitst de straal zich in delen van de juiste grootte en worden de spins uitgelijnd in de twee polarisaties en het gebeurt zonder dat je hem dat vertelt.

Dus dan is de spintoestand duidelijk. Het vertelt je in welke richting het betrouwbaar zal gaan als je het een kans geeft. En als je het in een anders georiënteerde Stern-Gerlach plaatst, wordt het gedwongen om in een van de twee richtingen te gaan die door die oriëntatie zijn toegestaan en zal het splitsen en in beide gaan. Om de afmetingen van elk onderdeel te krijgen, kun je de Schrödingervergelijking ontwikkelen of de eigenvectoren van de operator $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ berekenen en deze plaatsen met de eigenvector van positieve eigenwaarde orthogonaal op de andere vector.

En ja, er zijn gemakkelijkere manieren om dit te doen en je kunt er meer uit halen. Maar hopelijk zie je de andere geometrie.

Kun je laten zien hoe men dan de $ cos \ theta / 2 $ en $ e ^ {i \ phi verkrijgt } $ termen?

Ik gebruikte de Pauli-spinoperatoren, als je een basis wilt kiezen, kun je ze als matrices schrijven (een operator is een functie op een vectorruimte , een matrix vervangt een operator nadat u een basis hebt geselecteerd; de operator bestaat en is dezelfde, ongeacht de basis die u later wel of niet selecteert). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

En de eigenvector met positieve eigenwaarde is $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ tenzij $ n_z = 1 $ dan is het $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Laten we eens kijken naar het geval van $ n_z = 1 $ eerst, in dat geval $ a = 1 $ en $ b = 0 $ en $ \ theta = 0 $ dus $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ alles werkt.

Als je de eigenvector als eenheidsvector wilt schrijven, krijg je $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Als je de fase wilt aanpassen zodat de eerste coördinaat echt en positief is, krijg je $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

De rest is trigometrie, bijv. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Dus we hoeven alleen maar te laten zien dat $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ en dat $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ De laatste is een trig-identiteit $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

De eerste is $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Opmerkingen

• Waarom hebben we een 3D-bol nodig en niet alleen een cirkel op een vlak? Als we ons de qubit voorstellen als de 2 mogelijke waarden van de spin van een atoom of zijn superpositie … Wat is ‘ is de fysieke betekenis van de azimutale hoek ϕ?

A. Two-state systemen

Laten we een tweestaten-systeem zijn, waarbij de toestanden onafhankelijk zijn van de ruimte-tijd coördinaten. In dit geval heeft het systeem een nieuwe vrijheidsgraad . Een klassiek voorbeeld is een deeltje met rotatie-impulsmoment $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Laat de twee toestanden daar overeenkomen met de basisstatussen \ begin {vergelijking} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} genaamd respectievelijk omhoog en omlaag .

Een systeemstatus wordt uitgedrukt door de statusvector \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {waarbij} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {en} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} De complexe getallen $ \: \ xi, \ eta \: $ zijn de waarschijnlijkheidsamplitudes en de niet-negatieve reële getallen $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ de waarschijnlijkheid dat het systeem in staat is $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ .

De Hilbertruimte van de systeemtoestanden is in veel opzichten identiek aan (de eenheidssfeer van) de complexe ruimte $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Een waarneming van het systeem zou worden weergegeven door een $ \: 2 \ times2 \: $ hermitische matrix A van de vorm \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {met} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} dus de lineaire ruimte van de $ \: 2 \ times2 \: $ hermitische matrices zijn in veel opzichten identiek aan $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Op basis van de gebruikelijke basis van $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ construeren we een basis voor deze ruimte van matrices \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Nu, als de basisstatus $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ van vergelijking \ eqref {01} komen overeen met de eigentoestanden van eigenwaarden $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ van een observeerbaar, dan wordt dit observeerbare weergegeven door de matrix
\ begin {vergelijking} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} niet opgenomen in \ eqref {04}. Maar in plaats van de basis \ eqref {04} zouden we gebruik kunnen maken van de volgende lineaire combinaties ervan \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} en veranderende symbolen en arrangement

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} waarbij $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ de Pauli-matrices .

Nu, de basisstatussen $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ van vergelijking \ eqref {01} zijn eigentoestanden van $ \: \ sigma_3 \: $ dus het “is noodzakelijk om te worden uitgedrukt met het subscript $ \:” 3 “\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Dit moet worden gedaan voor de waarschijnlijkheidsamplitudes $ \: \ xi, \ eta \: $ ook \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {en} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} De reden hiervoor is dat we als basistoestanden van de Hilbertruimte even goed de eigentoestanden $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ van eigenwaarden $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectievelijk $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} zodat \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {waarbij} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {en} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} of het relevante voor $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} zodat \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {waarbij} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {en} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} De eigentoestanden $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ worden schematisch weergegeven in Figuur 04.

Nu, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} dus \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Ook \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} dus \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} In vergelijkingen \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} door $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ duiden we de complexe conjugaat aan van het complexe getal $ \: z \: $ en door $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ de echte en imaginaire delen van $ \: z $ .

Sinds $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ we hebben ingesteld (zie Figuur-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polaire hoek ten opzichte van $ x_3- $ as} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} dus \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimutale hoek ten opzichte van $ x_3- $ as} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Onder deze definities \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} en vergelijkingen \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} leveren de volgende kansen \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Merk op dat de staat $ \ vert \ psi \ rangle $ van vergelijking \ eqref {09} kan worden uitgedrukt als \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} of negeert de fase factor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. On Sphere – In Ball

In figuur 01 zien we de details van de definities \ eqref {18a}, \ eqref {18b} en \ eqref {18c}. Dit is een vlak aanzicht vanaf een punt op het vlak van de cirkel $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ in Figuur 03. Merk op dat deze figuur 01 geldig is als alle subscripts $ \: “3” \: $ zullen worden vervangen door $ \ : “1” \: $ of $ \: “2” $ . De definitie en betekenis van verschillende punten worden hieronder gegeven.

In figuur 02 zien we de geometrie van vergelijkingen \ eqref {21a}, \ eqref {21b} en \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Dit is een vlak aanzicht vanaf een punt op de positieven van de $ \: x_3- $ as.

Bekijk hier een 3D-weergave van figuur 03

In figuur 03 hebben we een bol met diameter 1 in een driedimensionale ruimte $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ niet identiek aan de fysieke ruimte. Op de bol staat een punt $ \: \ Xi \: $ voor een toestand van het systeem \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Nu voor $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! as \: \: vertegenwoordigt \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \: \: on \: \: – 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! as \: \: vertegenwoordigt \: \ : the \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of \: \: the \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! as \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probability \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitude \: \: of \: \: probability \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = waarschijnlijkheid \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = kans \: \: van \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigentoestand \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polair \: hoek \: met \: respect \: naar \: het \: x _ {\ vetsymbool {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutaal \: hoek \: met \: respect \: aan \: de \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! as \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = half \: the \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = straal \: van \: de \: cirkel, \: snijpunt \: van \: de \: bol \ niet-nummer \\ & \ hphantom {=} \: \: met \: het \: vlak \: door \: punt \: \ Xi \: normaal \: naar \: het \: x _ {\ vetsymbool {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Reacties

• zoals altijd geweldig figuur.
• Ik don ‘ niet te begrijpen wanneer je zegt (05) isn ‘ t opgenomen in (04), isn ‘ is het $ E_3 $? Ook begrijp ik niet ‘ hoe $ E_3 – E_4 $ niet ‘ alle nullen en een -2 bevat
• @ gary69: Welkom bij PSE. Bedankt voor jullie aandacht. Het was een typefout in vergelijking $ \ eqref {04} $ die ik naar rechts heb gewijzigd. Wanneer u in de toekomst een goede reputatie krijgt en u de bewerkingsgeschiedenis van mijn antwoord kunt zien, zult u zien dat deze typefout is gemaakt tijdens de 7e bewerking van 25 augustus 2020.

Een louter uitgebreide opmerking die het fijne antwoord van @Timeeus stroomlijnt tot een meer memorabele vorm.

De toestandsvector
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definieert een pure toestandsdichtheidsmatrix via zijn projectie-operator, $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Let op de manifeste onveranderlijkheid onder algehele herfasering van $ | \ psi \ rangle $ .

De algemene principes “uitdrukking van deze idempotente hermitische dichtheidsmatrix is klaarblijkelijk ook $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ met $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Dat wil zeggen, de $ \ hat z $ as roteert naar de $ \ hat n $ as met volledige (adjunct) rotatiehoeken , specificeert een operator-expressie met een halve hoek (spinor, fundamenteel).

Denk aan foton-spin

Door over dit concretere geval na te denken, kreeg ik een aantal nuttige plaatjes in mijn hoofd. Er is zelfs een bekend meer optica-georiënteerde analoog die de moeite waard is om in gedachten te houden: de Poincaré-bol .

Foton-spin is een tweestaten-kwantumsysteem , dat als Frobenius vermeldt , is wat de Bloch-bolmodellen zijn.

Foton-spin is ook eenvoudig om experimenteel te begrijpen / visualiseren / manipuleren.

Fysieke polarisatiefilters

Eerst laten we eens nadenken over het meest concrete mogelijke ding: de polarisatiefilters.

Er zijn twee soorten polarisatiefilters waar u aan kunt denken:

• lineaire polarisator, onder elke hoek tussen -90 en 90.

  Bijv hier is er een op 90 graden:

  

  en hier is er een op 45 graden:

  

  en hier is er een op 0 graden:

  

  Bron

  Wikipedia beschrijft een paar manieren om dergelijke filters te maken, en de bovenstaande afbeeldingen zijn Polariod-filters , die worden gebruikt in zonnebrillen en fotografie en daarom direct beschikbaar zijn .

  Vanuit kwantummechanisch oogpunt maken de oriëntaties van 90 en 0 graden dezelfde meting: het enige verschil is dat de een het foton laat passeren, maar de ander blokkeert. Maar we kunnen beide even goed gebruiken om bepaal het niveau van lineaire verticale polarisatie van het foton: je hoeft alleen het complement de val te nemen ue.

  En aangezien elke meting overeenkomt met een Hermitische matrix , kunnen we zowel 0 als 90 weergeven met een enkele matrix:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  En de matrix voor 45 graden is:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• circulaire polarisator, die zoals Wikipedia uitlegt gewoonlijk wordt gemaakt met een kwartgolfplaat + een lineaire polarisator:

  

  Bron .

  De bijbehorende matrix is:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

De bovenstaande matrices zijn de zogenaamde Pauli-matrices .

Enkele interessante toestandsvectoren

Laten we nu 6 polen een naam geven die 6 mogelijke interessante fotontoestanden op de Bloch-bol vertegenwoordigen , en probeer te begrijpen hoe ze omgaan met de filters.

Bron .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineair 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {cirkelvormig met de klok mee} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {cirkelvormig tegen de klok in} \\ \ end {alignat *} $$

Het eerste dat opvalt, is dat het volgende paren zijn allemaal basen:

• $ \ vert 0 \ rangle $ en $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ en $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ en $ \ vert -i \ rangle $

We zouden bijvoorbeeld kunnen staan voor:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

En dan zien we ook dat:

• $ \ vert 0 \ rangle $ en $ \ vert 1 \ rangle $ zijn eigenvectoren van $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ en $ \ vert – \ rangle $ zijn eigenvectoren van $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ en $ \ vert -i \ rangle $ zijn eigenvectoren van $ M_i $

Als we onthouden dat het resultaat van een meting in de kwantummechanica de eigenvector is van een eigenwaarde, met waarschijnlijkheid evenredig met de projectie, krijgen we de volgende steekproefkansen voor deze experimenten:

• $ \ vert 0 \ rangle $ state on:

  • lineaire polarisator 90 °: 100% geslaagd

  • lineaire polarisator 0 °: 0% geslaagd

  • lineaire polarisator 45 °: 45% geslaagd, omdat:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • lineaire polarisator -45 °: 45% geslaagd

  • circulaire polarisatoren: 45% geslaagd.Dit komt doordat een lineaire toestand 0 kan worden ontleed in twee circulaire polarisaties:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineair 90 °: 0% pass
  • lineair 0 °: 100% pass
  • lineair 45 °: 45% geslaagd
  • lineair -45 °: 45% geslaagd
  • cirkelvormig: 45% geslaagd
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineair 90 °: 45% pass
  • lineair 0 °: 45% pass
  • lineair 45 °: 100% pass
  • lineair -45 °: 0% pass
  • circulaire polarisatoren: 45% pass
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineair 90 °: 45% pass
  • lineair 0 ° : 45% geslaagd
  • lineair 45 °: 45% geslaagd
  • lineair -45 °: 45% geslaagd
  • cirkelvormig met de klok mee: 100% geslaagd
  • cirkelvormig tegen de klok in: 0% geslaagd

Relatieve fase

Een belangrijke semi-klassieke intuïtie om te onthouden is dat:

circulair polarisatie == twee orthogonale lineaire polarisaties 90 graden uit fase:

Bron .

Dus bijvoorbeeld in :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

we hebben een relatieve fase van 90 graden vanwege de $ i $ relatief faseverschil tussen $ \ vert 0 \ rangle $ en $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Maar in de diagonale zijn ze in fase ten opzichte van $ \ vert 0 \ rangle $ en $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

dus de relatieve fase is 0 voor die.

Loop rond de bol

Een veelgebruikte manier om een staat in de Bloch-bol weer te geven, is door alleen de twee $ \ theta $ en $ \ phi $ hoeken zoals hieronder weergegeven:

Bron .

Aangezien een bol niet-Euclidisch is, is een goede manier om hem te visualiseren, door een aantal gemakkelijk te begrijpen paden eromheen te lopen. Op de volgende afbeelding doen we twee paden:

• begin bij 0, ga door +, 1, – en keer terug naar 0
• begin bij 0, ga door i , 1, -i, en keer terug naar 0

Bron .

Lopend van + via i, -, -i en terug naar + blijft over als een oefening: de cirkel zou een schuine zonsverduistering worden, en wordt steeds dunner tot een lijn van 45 graden.

Dit leidt tot een duidelijke interpretatie van de hoeken:

• $ \ theta $ : hoe groter het is, des te waarschijnlijker is $ \ vert 1 \ rangle $ wordt vergeleken met $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : de relatieve fase tussen $ \ vert 0 \ rangle $ en $ \ vert 1 \ rangle $ . Deze relatieve fase kan niet worden gedetecteerd door een verticale of horizontale polarisator.

Hoe kunnen we teruggaan van 4 reële getallen naar slechts 2 in de toestand ?

Op de Bloch-bol kunnen we de staat weergeven met slechts 2 echte parameters: de hoeken $ \ theta $ en $ \ phi $

Maar in de meer expliciete full-full-state vectoren lijken er 2 complexe getallen te zijn, en dus 4 reële getallen:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Waarom een van de getallen moet worden verwijderd, is eenvoudig: de totale waarschijnlijkheid moet 1 zijn, en dus:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

dus op dat moment zijn we al beperkt tot een 3-bol .

De tweede is interessanter: we kunnen een andere parameter verwijderen omdat de globale fase van de staat niet kan worden gedetecteerd door experimenten en dus we zijn vrij om het willekeurig te kiezen.

Een globale fase is een denkbeeldig getal. De modulus van dat getal moet 1 zijn om de totale waarschijnlijkheid te behouden. Experimenten kunnen geen globale faseverschuivingen detecteren omdat de uitkomsten van het meten:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

op elk van de filters is hetzelfde als die van meten:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

omdat $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Een logische keuze is daarom om een globale fase te kiezen die de toestand zo roteert dat de vermenigvuldiger van $ \ vert 0 \ rangle $ wordt een reëel getal, dwz door $ b = 0 $ in te stellen.

Dus door bijvoorbeeld te vermenigvuldigen met een denkbeeldig getal, we zouden meer algemene staten in meer beperkte staten kunnen toewijzen, zoals

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ maal i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ maal -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Waarom zijn er precies drie Pauli-matrices?

Ik denk dat er diepe en duidelijke wiskundige redenen zijn die dit verklaren, omdat ze een basis vormen van de 2×2 Hermitische matrixruimte zoals vermeld op: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 en https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states en het is de kern van de vraag waarom de Bloch-sfeer gebruikt, maar ik heb het nog niet helemaal begrepen.

Maar in meer praktische termen: de drie meetinstrumenten die we beschreven zijn de enige drie mogelijkheden (tot globale rotaties), zodat nadat je er een bent gepasseerd, je alle informatie over de andere twee verliest (50% kans op de andere twee experimenten).

Daarom zijn ze orthogonaal in zekere zin, en maximaal omdat er geen ander experiment is dat we aan die reeks experimenten zouden kunnen toevoegen, zodat deze eigenschap geldt.

Speel met Quirk

https://algassert.com/quirk

Dit is nog een suggestie die de moeite waard is. Klik op die afbeeldingen totdat alles klopt.