Ik heb een continue balk over een middenkolom (ik weet niet zeker of ik deze correct heb getekend of niet)
Het verplaatsings- en krachtdiagram is zoals weergegeven:
Het eerste diagram is het buigmoment, ten tweede de axiale kracht, het derde is de verplaatsing.
Wat is nu de randvoorwaarde op $ R_A $, $ R_B $ en $ R_C $?
Van wat ik kan afleiden, lijkt het te zijn
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (komt overeen met de doorbuiging bij de drie ondersteuningen)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, of $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (komt overeen met het moment).
Maar ik vermoed dat ik nog steeds enkele randvoorwaarden mis om leid het volledige verplaatsing / krachtdiagram af voor het vervolg ous straal. Zijn er randvoorwaarden die ik “heb gemist?
Antwoord
Nou, je mist de compatibiliteit van hellingen op de middelste steun :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
In het geval van symmetrische geometrie & belasting, de helling van de ligger bij de middelste steun zal nul zijn.
Aangezien het buigmoment geen afgeleide heeft bij x = L, zul je moeten de afbuigingen van de twee helften afzonderlijk afleiden en ze compatibel “samenvoegen”.
Update: afleiding van de straalafbuigingsformule:
Uitgaande van de Euler-Bernoulli-straalvergelijking (uitgaande van constante EI), en x nemen van de buitenste ondersteunt richting het centrum: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Vier keer integreren:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Als je merkt dat het probleem symmetrisch is, zijn de randvoorwaarden: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Daarom kunnen we onmiddellijk zien dat: $ B = D = 0 $
We hebben nu twee vergelijkingen met twee onbekenden (A, C). Oplossend vinden we: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
We kunnen nu alle de constanten terug in de vergelijking voor w. Resultaten vereenvoudigen in:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Dit is identiek aan het resultaat waarnaar wordt verwezen hier (merk op dat hun coördinatensysteem x = 0 in het midden heeft). Merk ook op dat dit exact hetzelfde resultaat is als een ondersteunde cantilever . Dit komt door symmetrie, wat betekent dat de balkhelling in het midden nul is (wat dezelfde randvoorwaarde is als een cantileverondersteuning).
U kunt ook in de buigmomentvergelijking substitueren:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Reacties
- a) de compatibiliteit van de hellingconditie is alleen nuttig als men de continue ligger kan modelleren als twee overspanningsbalken. Hoe is het in dit geval nuttig? b) Waarom zegt u dat het buigmoment discontinu is bij $ L $? het momentdiagram in mijn vraag laat duidelijk zien dat het continu is.
- Zou het op prijs stellen als je een beetje kunt uitwerken en als je kunt laten zien hoe je randvoorwaarden kunnen leiden tot het verplaatsings- / buigmomentdiagram voor continue balk .
- @Graviton, a) Ik zal de vraag bijwerken met de afleiding. b) je hebt gelijk, ik was een beetje los met mijn wiskundige terminologie. Wat ik bedoel is dat het buigmoment geen afgeleide heeft bij x = L.