Ik kreeg een powerpoint-dia voorgeschoteld van een vriend over wiskundeonderwijs en een van zijn dias had het over “de zeven referentienummers”. Hij zei dat:
De zeven referentienummers voor het ontwikkelen van een “compleet” getallengevoel zijn: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ en $ 100 $. Deze cijfers vormen de basis van het wiskundecurriculum in het basis- en voortgezet onderwijs.
Helaas kon mijn vriend, toen ik erop drukte, niet uitleggen waarom deze cijfers waren ‘benchmarks’. Weet iemand waar hij naar verwijst of, beter nog, weet iemand waar hij deze informatie vandaan haalt?
Opmerkingen
- Waarom niet ' Vraag je hem de bron? Vreemd, hij ' s presenteert materiaal dat hij ' niet kan uitleggen.
- Aan mij (en anderen ) een referentienummer is een nuttig nummer om schattingen op te baseren. Bijv. 1/2 is een goede maatstaf en helpt ons te begrijpen waar 3/8 op de getallenlijn staat ten opzichte van 1/2. Ik ' weet echter niet zeker wat 12 daar doet. En deze specifieke lijst lijkt willekeurig.
- De meeste zijn vrij eenvoudig om de motivatie voor te raden, maar de cijfers alleen zijn zeker onvoldoende om enige vorm van " compleet " getallenzin. @ncr Het schijnbaar willekeurige getal, 12, is waarschijnlijk te wijten aan het niet-metrische systeem waarin men bijvoorbeeld een dozijn (12) of – niet zo lang geleden – een bruto (144) heeft. Plus 30 cm in een voet, 12 uur in elke helft van de dag, en veel studenten in de Verenigde Staten leren de tafel van 12 bij 12 vermenigvuldiging. Ik kan ' niets anders definitief zeggen over deze lijst met " benchmarknummers, " behalve dat ik de collectie nog nooit formeel heb besproken.
- Hij was niet in staat me de bron te geven (waardoor ik hier nog meer in geïnteresseerd ben)
- Dit lijkt me erg willekeurig. Als wiskundige zou ik geen speciale betekenis geven aan deze getallen. Vooral $ 12 $ zou niet belangrijk zijn in veel delen van de wereld waar het metrische systeem wordt gebruikt. Het is enigszins willekeurig om $ 100 $ op te nemen, maar bijvoorbeeld $ 1000 $ niet. Waarom ook $ 1/2 $ opnemen, maar niet $ 2 $?
Answer
Een behoorlijk boek over elementaire wiskunde is Wiskunde voor basisleraren (Beckmann, 2010). Het boek is bedoeld om leraren te helpen de kennis van de wiskunde achter de ideeën in elementaire curricula te versterken (in het bijzonder curricula hervormen, denk ik). Als zodanig is het vaak een goede plek om dit soort dingen te controleren.
Benchmarks (ook wel “oriëntatiepunten” genoemd) worden geïntroduceerd in de context van het vergelijken van breuken. Wanneer studenten proberen te bepalen welke breuk is groter, $ \ frac {4} {9} $ of $ \ frac {3} {5} $, is een voorgestelde strategie dat leerlingen redeneren over hun relatie met een ander getal, zoals de breuk $ \ frac {1} { 2} $:
Toen we $ \ frac {4} {9} $ en $ \ frac {3} {5} $ vergeleken door beide te vergelijken breuken met $ \ frac {1} {2} $, we gebruikten $ \ frac {1} {2} $ als een benchmark (of oriëntatiepunt) . De breuken $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $, en $ 1 $ zijn goed te gebruiken als benchmarks. (p. 73)
Uit deze tekst blijkt duidelijk dat de getallen enigszins willekeurig zijn ; het is niet de bedoeling dat er een definitieve lijst met benchmarks is. Leerlingen zouden een breukbenchmark kiezen die hen helpt te vergelijken.
Ik kan niet zeggen of anderen benchmarks op dezelfde manier gebruiken (een korte blik op enkele andere boeken die ik binnen handbereik heb, komt de term niet voor). Het gebruik van hier is echter duidelijk: een benchmark getal is een getal dat nuttig is bij het redeneren over een probleem. In dit geval wordt de benchmark gebruikt als referentiepunt voor het vergelijken van breuken.
De bedoeling is om redenering aan te moedigen in plaats van procedure. Er zijn algoritmen voor sommige leerlingen wordt geleerd om te gebruiken voor het vergelijken van breuken, waardoor ze wiskundig redeneren kunnen vervangen door een paar uit het hoofd geleerd stappen en wat rekenkunde. Maar door te redeneren kunnen ze gissingen oefenen, een rechtvaardiging voor hun antwoord bedenken en uiteindelijk een manier vinden om hun antwoord verdedigen anders dan “dit is wat de procedure heeft voortgebracht”.
Ik zou het moeten zeggen inkt elk bruikbaar getal dat wordt gebruikt bij het redeneren, zou een ijkpunt kunnen worden genoemd. In mijn antwoord op een andere vraag (hier te zien) bijvoorbeeld, schreef ik over het redeneren van studenten dat een aftrekker omzet in het getal $ 2000 $. In dat geval is $ 2000 $ nuttig.
Een ander type wiskundig redeneren dat baat zou kunnen hebben bij een benchmark, is een schatting. Getallen kunnen worden vervangen door benchmarks in de buurt die zorgen voor een snellere berekening, als het doel is om alleen een antwoord te geven (een vaak behoorlijk nuttige strategie voor veel echte toepassingen).
Samengevat, Ik denk niet dat er ondersteuning is voor een definitieve lijst met benchmarks . degenen die Dr. Beckmann geeft, zijn suggesties (“goed om te gebruiken”), maar de echte test is of ze nuttig zijn voor de denker temidden van hun wiskundige redenering.
Works Cited:
Beckmann, S. (2010). Wiskunde voor basisleraren. New York: Pearson Addison-Wesley.
Opmerkingen
- misschien ' Ik ben gewoon lui, maar als kind denk ik dat ik gewoon de decimale uitbreiding zou berekenen om twee breuken te vergelijken. I ' heb wat geschiedenis van de natuurkunde gelezen die dit gevoel weerspiegelt … dat het decimale getalsysteem buitengewoon belangrijk was voor het benaderingsaspect van Newton ' s denken … maar, ik ' m geen expert.
- @ JamesS.Cook It ' is niet lui om de weergave te gebruiken dat bes Het past bij uw vaardigheden en de toepassing die voorhanden is. Werk in de klas heeft natuurlijk een bijkomend leerdoel. In dit geval een redenering voor de vergelijking gebruiken (in die zin staat het in tegenstelling tot sommige andere " truc " methoden). Welke redenering verbond de fractionele en decimale representaties uit nieuwsgierigheid toen je breuken met decimale getallen vergeleek? Met andere woorden, hoe heb je jezelf informeel bewezen dat de decimale weergave echt hetzelfde getal was?
- Als ik me goed herinner, en dat is discutabel, geloof ik dat het de standaardbetekenis was. Bijvoorbeeld: $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, dus we bouwen de decimalen op door gehele veelvouden van $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … bij elkaar op te tellen. De behoefte aan series werd pas veel later ingezien, benaderingen waren toereikend voor mijn doeleinden als kind, ik kan me niet ' niet herinneren dat ik nadacht over convergentie op de speelplaats.
- @JamesS .Cook Dus het soort " atomaire " kennis hier is dat $ \ frac {1} {10} = 0.1 $ (en zo op voor andere fracties met machten van tien). Maar u zou ook moeten rechtvaardigen dat $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Op het eerste gezicht lijkt dit geavanceerder dan het vergelijken van twee breuken op basis van een benchmark (dat wil zeggen dat u ' op dit moment die benchmarkstrategie niet meer nodig hebt). Uw macht-van-tien-noemer-breuken is uiteraard een essentieel onderdeel van het begrip van hoe plaatswaarde van toepassing is op fractionele waarden.
Antwoord
Ik kan dit niet” staven, maar hier “is een gedachte als wiskundige en vader van schoolgaande kinderen (zodat de benchmarks ontstaan):
1: Vertegenwoordigt het hele idee van wat een nummer is. Zodra je 1 hebt, hoef je alleen maar 2, 3, …, 9 te onthouden.
0: geeft aan dat niets ook een hoeveelheid / getal is.
10: In eerste instantie is “10” gewoon een ander symbool voor een getal als “7”. Maar als je echt begrijpt dat het “sa 1 en een 0 is, dan worden de symbolen 11, …, 99 onmiddellijk begrijpelijk.
100:” tien “begrijpen is één ding. De volgende stap is begrijpen dat er een nieuwe naam moet zijn voor tien 10 seconden. Als je eenmaal “honderd” hebt, dan worden “duizend”, “tienduizend”, “miljoen”, enz. onthouden.
1/2: In staat zijn 1/2 echt begrijpen betekent dat je begrijpt wat breuken zijn. Ik weet dat studenten echt worstelen met breuken, maar het begint allemaal met 1/2.
1/10: Als je eenmaal breuken hebt, is de vraag representatie is natuurlijk. Dus ik vermoed dat 1/10 eigenlijk zou moeten betekenen dat je 0.1 begrijpt.
12: Een beetje een vreemde eend in de bijt op de lijst. Mijn gok is een van de twee mogelijkheden: het is belangrijk omdat de meeste studenten de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd leren tot 12×12, of omdat in het Engels twaalf het laatste getal is waarvan de naam niets zegt over de decimale weergave, bijvoorbeeld misschien had het moeten zijn genaamd “seconteen”.
Reacties
- Als je goed kijkt, " twaalf " bevat tenminste een vorm van " twee. " Zie ook etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Twaalf is het eerste overvloedige getal, en ook de sleutel in het klokmodel dat sommige leraren gebruiken voor breuken. Ik weet niet ' of het daarom ' op de lijst staat, maar het is zeker logisch waarom het op een lijst met belangrijke nummers in het 4e en 5e leerjaar.
- Het hele getal " 1 " is de universele multiplicatieve identiteit .Hoewel " 2 " niet ' nodig is als basis voor hele getallen, zou ik Bedenk dat het vermenigvuldigen van alles met het gehele getal twee hetzelfde is als het toevoegen aan zichzelf, is behoorlijk belangrijk. Ik zou " 4 " belangrijk vinden omdat het vermenigvuldigen van iets met vier hetzelfde is als iets aan zichzelf toevoegen en het resultaat toevoegen aan zelf , terwijl " 3 " belangrijk is omdat vermenigvuldigen met drie vereist dat er iets aan zichzelf wordt toegevoegd en vervolgens het resultaat naar het oorspronkelijke .