Ik hoor vaak over snaartheorie en de ingewikkelde wiskundige structuur ervan als een fysische theorie, maar ik kan niet zeggen dat ik ooit de gerelateerde wiskunde heb gezien. In het algemeen ben ik benieuwd hoe de wiskunde van de snaartheorie eruitziet, kan iemand me naar enkele referenties verwijzen? In het bijzonder wil ik weten of er een fundamentele vergelijking in de snaartheorie is die wordt verondersteld als uitgangspunt voor de meeste problemen, iets vergelijkbaars met de tweede wet van Newton in mechanica of de Schrodinger-vergelijking in QM?
Reacties
- Als je deze vraag leuk vindt, kun je ook genieten van dit en dit Phys.SE-bericht.
Antwoord
Ik ben hier al lang in geïnteresseerd, maar de indruk die ik krijg is (sprekend als een strikte amateur met een redelijk begrip van QM en relativiteit) dat er simpelweg niets is zoals bijvoorbeeld de Schrodinger-vergelijking of Einsteins veldvergelijking in snaartheorie. Snaartheorie wordt ontwikkeld door de actie op te schrijven (dat is het gebied van het snaarwereldblad), dit te gebruiken om de (klassieke) bewegingsvergelijkingen te vinden, en een consistente kwantisering hiervan te vinden (ergens onderweg in supersymmetrie bouwen) vervolgens het oplossen van de resulterende onmogelijk rommelige en harde vergelijkingen met behulp van perturbatietheorie. De indruk die ik krijg (NB als buitenstaander) is dat omdat het zo moeilijk is, mensen het vanuit veel verschillende hoeken op veel verschillende manieren hebben aangevallen, dus wat we kennen als snaartheorie is eigenlijk veel overlappende stukjes in plaats van een elegante monoliet zoals GR .
De beste niet-niet-nerd-introductie die ik heb gelezen, is String Theory Demystified door David McMahon. Als je dit doorwerkt, kun je op zijn minst een idee krijgen van hoe het allemaal in elkaar zit, hoewel het jou (en mij!) Nog steeds ver te kort achterlaat bij iemand die echt in het veld werkt. De Amazon-link die ik heb gegeven stelt je in staat om geselecteerde hoofdstukken uit het boek te lezen, en het is in ieder geval best goedkoop tweedehands.
Opmerkingen
- Snaartheorie wordt geformuleerd met Feynman ' s som over het geschiedenisformalisme. De basisvergelijking is slechts de padintegraal. Wat strings in zekere zin moeilijk maakt, is dat we ' begrijpen niet goed welke variabelen we zouden moeten gebruiken in deze padintegraal.
Antwoord
Wat ik hier wil zeggen heeft te maken met de opmerking van user1504.
Zoals Lenny Susskind uitlegt in this en deze lezing, hoe het verstrooiingsgedrag van deeltjes beschrijven is bijna de definitie van snaartheorie. Formules voor verstrooiingsamplitudes kunnen dus op de een of andere manier worden beschouwd als fundamentele vergelijkingen die de theorie definiëren. Heel schematisch kan de vergelijking om de verstrooiingsamplitude $ A $ te berekenen worden opgeschreven als
$$ A = \ int \ limieten _ {\ rm {period}} d \ tau \ int \ limieten _ {\ rm {oppervlakken}} \ exp ^ {- iS} \ Delta X ^ {\ mu} (\ sigma, \ tau) $$
Als we bijvoorbeeld kijken naar het proces van twee strings samenvoegen en weer splitsen, heeft één om over de hele wereld bladen $ \ Delta X ^ {\ mu} (\ sigma, \ tau) $ te integreren die beginnen en eindigen met twee verschillende strings. Een tweede integraal moet worden gedaan over alle mogelijke tijdsperioden $ d \ tau $ de strings samenkomen. De actie $ S $ kan bijvoorbeeld worden gegeven door
$$ S = \ int d \ tau d \ sigma \ left [\ left (\ frac {\ partiële X ^ {\ nu}} {\ gedeeltelijk \ tau} \ right) ^ 2 – \ left (\ frac {\ gedeeltelijke X ^ {\ nu}} {\ gedeeltelijk \ sigma} \ right) ^ 2 \ right] $$
De informatie over de inkomende en uitgaande deeltjes zelf ontbreekt nog in de eerste vergelijking en moet met de hand worden ingevoegd door extra vermenigvuldigingsfactoren (vertex-operatoren) op te nemen
$$ \ prod \ limits_j e ^ {ik_ {j_ \ mu} X ^ {\ mu} (z_j)} $$
Deze factoren vertegenwoordigen een deeltje met golfvector $ k $, en $ z $ is de plaats van injectie (bijvoorbeeld op de eenheidscirkel wanneer het probleem conform transformeren naar de eenheidsschijf) waarover uiteindelijk ook moet worden geïntegreerd.
Opmerkingen
- De inkomende / uitgaande deeltjes (vertex operators) zijn " met de hand geplaatst " maar natuurlijk gezien de correspondentie tussen de staat en operator.