Superpositiestelling
“ De superpositiestelling voor elektrische circuits stelt dat voor een lineair systeem de respons (spanning of stroom) in elke tak van een bilateraal lineair circuit met meer dan één onafhankelijke bron is gelijk aan de algebraïsche som van de reacties veroorzaakt door elke onafhankelijke bron die alleen werkt, waarbij alle andere onafhankelijke bronnen worden vervangen door hun interne impedanties . “

Welke soorten circuits kan worden opgelost door superpositie?

Circuits gemaakt van een van de volgende componenten kunnen worden opgelost met behulp van superpositiestelling

• Onafhankelijk bronnen
• Lineaire passieve elementen – weerstand, condensator en inductor
• Transformator
• Lineair afhankelijke bronnen

Wat zijn de stappen om een circuit op te lossen met behulp van de superpositiestelling?

Volg het algoritme:

1. Antwoord = 0;
2. Selecteer de eerste onafhankelijke bron.
3. Vervang alle onafhankelijke bronnen in het originele circuit behalve de geselecteerde bron door zijn interne impedantie.
4. Bereken de hoeveelheid (spanning of stroom ) van belang en voeg toe aan Antwoord.
5. Sluit af als dit de laatste onafhankelijke bron was. Anders Ga naar stap 3 met het selecteren van de volgende bron.

De interne impedantie van een spanningsbron is nul en die van een stroombron is oneindig. Dus vervang de spanningsbron door een kortsluiting en een stroombron met een open circuit terwijl u stap 3 in het bovenstaande algoritme uitvoert.

Hoe worden verschillende soorten bronnen behandeld wanneer oplossen door superpositie?

De onafhankelijke bronnen moeten worden behandeld zoals hierboven uitgelegd.

In het geval van afhankelijke bronnen, raak ze niet aan.

Superpositie is alleen van toepassing wanneer u een puur lineair systeem hebben, dat wil zeggen:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

In de context van circuitanalyse moet het circuit bestaan uit lineaire elementen (condensatoren, inductoren, lineaire transformatoren en weerstanden) met N onafhankelijke bronnen, en waar u naar oplost, moeten spanningen of stromen zijn. Merk op dat u een extra opgelegde oplossing voor spanning / stroom kunt nemen om andere grootheden te vinden die zijn niet lineair (bv. vermogen gedissipeerd in een weerstand), maar je kunt geen niet-lineaire grootheden over elkaar heen leggen (optellen) om de oplossing voor een groter systeem te vinden.

Laten we bijvoorbeeld een enkele weerstand nemen en kijk naar de wet van Ohm (ik gebruik U en J voor respectievelijk spanning / stroom, geen specifieke reden) en kijk hoe de stroom bijdroeg vanuit de bron \ $ i \ $ beïnvloedt de spanning:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Zodat ik de spanning over een weerstand kan vinden door de huidige bijdrage van elke bron op te tellen, onafhankelijk van elke andere bron . Evenzo, om de stroom te vinden die door de weerstand vloeit:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Maar als ik begin kijkend naar macht, is superpositie niet langer van toepassing:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Het algemene proces voor het oplossen van een circuit dat gebruikmaakt van superpositie is:

1. Vervang voor elke bron \ $ i \ $ alle andere bronnen door hun equivalente nulbron, dwz spanningsbronnen worden 0V (kortsluiting) en stroombronnen worden 0A ( open circuits). Zoek de oplossing \ $ F_i \ $, voor welke onbekende dan ook waarin je geïnteresseerd bent.
2. De uiteindelijke oplossing is de som van alle oplossingen \ $ F_i \ $.

Voorbeeld 1

Neem dit circuit met twee bronnen:

^{simuleer dit circuit – Schema gemaakt met CircuitLab}

Ik wil een oplossing vinden voor de huidige J die door R1 stroomt.

Kies V1 als bron 1 en I1 als bron 2.

Oplossend voor \ $ J_1 \ $, wordt het circuit:

^{simuleer dit circuit}

Dus we weten dat \ $ J_1 = 0 \ $.

Nu aan het oplossen voor \ $ J_2 \ $ wordt het circuit:

^{simuleer dit circuit}

Zodat we kunnen vinden dat \ $ J_2 = I_1 \ $.

Superpositie toepassen, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Voorbeeld 2

^{simuleer th is circuit}

Nu ben ik geïnteresseerd in de stroom door R4 \ $ J \ $. Volgend op het algemene proces dat eerder is beschreven, kan ik, als ik V1 als bron 1, V2 als bron 2 en I1 als bron 3, aanduid:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Aldus de uiteindelijke oplossing is: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

De kracht van superpositie komt voort uit de vraag “wat als ik een bron wil toevoegen / verwijderen?” Stel dat ik een huidige bron I2 wil toevoegen:

^{simuleer dit circuit}

In plaats van helemaal opnieuw te beginnen, hoef ik nu alleen nog de oplossing voor mijn nieuwe source I2 te vinden en toe te voegen aan mijn oude oplossing: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Reacties

• Ik heb een paar opmerkingen waarvan ik hoop dat ze nuttig zullen zijn: 1. Ik vind het gebruik van U en J zijn enigszins verwarrend, V en ik zijn beter; 2. De eerste vergelijking voor U mag geen sommatie zijn, aangezien deze ‘ s voor de i ‘ de bron alleen is; 3. De andere sommaties moeten, denk ik, worden genomen van i = 1 tot N, niet van i tot N; 4. Superpositie in de circuittheorie wordt alleen gebruikt voor stroom en spanning, dus ik zou de discussie over vermogen later in de tekst verplaatsen; 5. In het voorbeeld dat volgt op de simpele van I1 en R1, zou n ‘ t J3 = -I1 (…), aangezien I1 in de tegenovergestelde richting van J3 werkt?
• 1. Ik heb ervoor gekozen om U en J te gebruiken omdat ik mijn bronnen heb gelabeld met V en I, en ik ‘ geen verwarring wilde veroorzaken door \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Ik geef duidelijk aan wat U en J zijn in de hoop de verwarring te beperken. 2. Ja, ik heb de notatie duidelijker gemaakt voor wat de sommatievariabele en startindex is. 4. Mijn idee was om alle basisinformatie over de superpositietheorie vóór de voorbeelden te plaatsen. Ik heb de voorbeelden duidelijker gemaakt om de twee te scheiden. 5. Ja, dat was mijn fout.