Hoe kan 64 = 65?

Dit is een beroemde fysieke puzzel die kan worden gekoppeld aan de fibonacci-reeks .

Om de gestelde vraag te beantwoorden, is het probleem dat de twee hellingen verschillend zijn ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Merk op dat al deze getallen zich in de fibonacci-reeks bevinden ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Opeenvolgende breuken benaderen $ \ varphi $ , afwisselend boven en onder. Diagrammen zoals deze kunnen worden gegenereerd door een vierkant te maken met zijden die gelijk zijn aan een getal in de fibonacci-reeks (in deze vraag 8), en het vervolgens te verdelen in twee rechthoeken met de breedte van de twee fibonacci-getallen waaruit de eerste gekozen is (3 en 5).

Snijd de kleinere diagonaal over de breedte en de grotere diagonaal in het midden, zodat de breedte van de diagonale snede het volgende kleinste getal is (in dit geval 2). Merk op dat hierdoor een trapezium achterblijft waarvan de kleine evenwijdige afmeting overeenkomt met de kleinere zijde van de originele kleine rechthoek (3 in dit geval), en waarvan de grotere evenwijdige afmeting overeenkomt met de kleinere zijde van de oorspronkelijke grotere rechthoek (5 in dit geval). / p>

Aangezien $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , en van de bovenstaande constructies, de stukken kunnen worden herschikt tot een rechthoek (zoals weergegeven), waarvan er altijd één verwijderd zal zijn van het originele vierkant, maar er ongeveer correct uitziet, aangezien de hellingen bijna overeenkomen.

Bewerken: aangezien dit antwoord zoveel up-stemmen heeft gekregen (bedankt!), heb ik stel dat mensen er erg in geïnteresseerd zijn, dus ik dacht dat ik “een paar afbeeldingen zou maken!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (het OP-voorbeeld)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Een opmerking van @EricJ . leidde tot een discussie die de moeite waard zou kunnen zijn hier ter sprake te brengen:

Ik beweer niet dat al dergelijke puzzels gebaseerd zijn op de Fibonacci-reeks. Alleen dat alle Fibonacci-getallen deze diagrammen kunnen genereren. Er zijn verschillende kenmerken van Fibonacci. getallen die dit laten werken.

1. Een daarvan is dat het kwadraat van een Fibonacci-getal afwisselend één meer en één minder is dan het product van de getallen aan beide kanten.
2. Er is het helling-ding dat ik al noemde, wat betekent dat onze constructie ons twee hellingen zal opleveren die ongeveer gelijk zijn. En
3. Er is een argument dat de algehele constructie kan worden gedaan op basis van elk getal dat de som is van de vorige twee.

De laatste twee punten kunnen het beste worden begrepen door de constructie in detail te bestuderen. Het eerste punt kan worden bewezen door inductie:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ voor $ k \ geq1 $

We “opnieuw indexeren zodat $ f_0 = 0 $ en $ f_1 = 1 $ .

Stap 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ kan worden geverifieerd door vervanging.

Stap 2 : neem aan dat het waar is voor $ k $ . Dus $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Ik” gebruik $ \ mp1 $ omdat ik verwacht dat het wordt afgewisseld, en dus in stap 3 zal ik het bewijzen voor $ \ pm1 $ )

Stap 3 : we moeten laten zien dat $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Dus hier geldt:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Ik heb de definitie van de Fibonacci-reeks twee keer gebruikt ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ en $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) en de aanname van stap 2.

Dit betekent dat wanneer je de bovenstaande constructie uitvoert, de gebieden altijd slechts 1 verschillen (afwisselend boven en onder elke keer).

Opmerkingen

• Exc ellent antwoord! Ik ‘ ben bekend met deze puzzels, maar heb nog nooit gehoord van de Fibonacci-verbinding. In feite heb ik ‘ zelfs niet gerealiseerd dat er een algoritme was om dergelijke vormen te genereren.
• Dit is waarom ik ” bewijs door demonstratie ” afbeeldingen op math.stackexchange.com .
• Na het zien van deze vraag realiseerde ik me waarom mijn Faster-Than-Light Time-Traveling Ferrari 488 niet ‘ t behoorlijk werkte (ik bedoel, het ‘ d ga sneller dan het licht achteruit in de tijd. Prima – maar het bleef maar terugkomen als een Ford Fiesta!) En ik ‘ d werd gewoon gedaan repareerde het en startte het op een testrun toen ik dit stomme antwoord las! En DAN kwam de Ferrari terug – maar deze keer kwam hij terug als een fiets MET EEN DINOSAUR DIE ER RIJDEN! Dus, oké, ik heb de dino geslagen (zijn naam ‘ s Fred, tussen haakjes – aardige vent. Grappige ol ‘ ding, leven .. .) met een koekenpan, en nu ‘ ben ik de FTL-motor opnieuw aan het repareren. Dus t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Ik denk dat hij ‘ zegt dat hij iets onmogelijks deed en nu ‘ t meer omdat het ‘ s onmogelijk blijken te zijn. Wat ik niet ‘ krijg, is waarom zoveel stemmen omhoog? Ik bedoel, ik dacht dat ik slim was, maar niet dat slim!
• Oh, ja? GOED! Ik heb zojuist je antwoord opgewaardeerd, om er een gelijkmatige 100 van te maken! DUS ER!!!! 🙂 (En terzijde van @ghosts_in_the_code – ik was niet ‘ Ik zeg niet echt dat dit antwoord stom is – ik verwees ernaar als ” stupid ” in ironische zin betekent dat ” Het antwoord heeft me ongelijk bewezen! Wat een stom antwoord! ” – dwz ik ‘ m hier de echte pop. Hopelijk zijn we ‘ nu allemaal goed …) . Mijn commentaar is eigenlijk een eerbetoon aan drie films: Back To The Future, ET en Caddyshack. En de Hitchiker ‘ s Guide To The Galaxy-trilogie – alle vijf boeken. 🙂

Het diagram is misleidend , aangezien het een gat verbergt in het midden van de tweede configuratie.

Dit is wat we daadwerkelijk krijgen als we de betreffende vormen herschikken. Merk op dat de diagonaal enigszins “buigt”, waardoor er wat extra ruimte tussen de vormen blijft – dit is waar de extra oppervlakte-eenheid binnensluipt.

Maar je moet me niet meer vertrouwen dan de persoon die de originele foto heeft gemaakt!

Zoals we hier zien, kunnen fotos misleidend zijn – dus mijn diagram is geen bewijs dat de origineel diagram was verkeerd. Dit geeft gewoon een intuïtief idee van waar de extra ruimte vandaan komt.

Overweeg voor een goed bewijs de hellingen:

• De helling van het blauwe trapezium is $ 5/2 = 2.5 $
• De helling van de rode driehoek is $ 8/3 = 2.666 … $

Aangezien de verlopen niet overeenkomen, kunnen we ze niet op deze manier naast elkaar plaatsen zonder enige lege ruimte ertussen . Maar omdat ze dichtbij zijn, kan het oog worden misleid door te denken dat ze een enkele ononderbroken lijn vormen en niet opmerken dat de helling op de driehoek halverwege verandert.

Opmerkingen

• Ik ben dol op deze puzzels – er is ‘ een goede filosofische moraal om dingen niet te accepteren zoals ze ‘ worden gepresenteerd aan jou.

De afbeelding rechts cheats : de stukjes passen eigenlijk niet perfect bij elkaar, er zit een kloof tussen. Om dit te bewijzen, kunnen we de grootte van de opening berekenen door de grootte van een driehoek te berekenen, gevormd door:

• de langste zijde van de gele driehoek: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• de schuine zijde van de trapezium: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• de diagonaal van de rechthoek op de rechts: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

De oppervlakte van deze driehoek kan worden berekend met de formule van Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

waarbij

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Het vervangen van de waarden in de formule geeft precies 0,5 voor $ A $. Er zijn twee van dergelijke driehoeken, dus “een totaal 1 = de verwachte afwijking.

Het is een misleidend diagram. In werkelijkheid komen de hoeken niet overeen – de grotere binnenhoek van de oranje driehoek is ongeveer 69,5 graden, terwijl het is 68,2 voor de grijze vierhoek. (Corrigeer me als ik het verkeerd heb om mijn triggering hier af te stoffen.) In het diagram met gebied 65 zijn de oranje gebieden eigenlijk vierhoeken. Als je goed kijkt, kun je zien dat ze een lichte buiging hebben waar ze de andere sinaasappel ontmoeten. sectie. Dus dat extra gebied komt door ze een beetje uit te breiden.

De driehoeken hebben niet dezelfde helling ; je kunt zien dat de grote diagonale lijn door de “grotere” rechthoek buigt. Het is bedekt door de dikke lijnen rond de driehoeken, maar er is een heel dun gat met een totale oppervlakte van één vierkant – hetzelfde vierkant dat zogenaamd uit het niets verscheen.

Vergroot gewoon de afbeelding en je “ll zie het antwoord.

Eenvoudig antwoord :

Die vormen (in oranje) aan de rechterkant van de afbeelding zijn helemaal geen driehoeken! het zijn twee vierhoeken. en dus hebben ze een oppervlakte die groter is dan visueel verwacht. dus er is hier geen equity. Ze zijn verschillend en hebben dus een verschillende totale oppervlakte.

De afbeelding van de onderste rechthoek is misleidend, omdat het mensen voor de gek houdt om ten onrechte aan te nemen dat de breedte van de driehoeken precies 3 eenheden is.

De werkelijke breedte kan eenvoudig worden berekend – het is een fractie van de totale breedte, gedefinieerd door de hoogte van het punt op de diagonaal, of precies 8 / 13e van 5, dus 3.076923077 (en niet 3), qed

Reacties

• Volgens de puzzelverklaring, de driehoeken in beide diagrammen zijn identiek, en de vorm van de driehoeken is gedefinieerd in de 8×8-configuratie om precies drie eenheden bij acht eenheden te zijn. De fout wordt goed geïllustreerd in alexwlchan ‘ s antwoord, en wiskundig uitgelegd in verschillende andere: de stukken passen niet ‘ in de 5×13-configuratie. Daar ‘ een dunne trapeziumvormige opening ertussen, die wordt verborgen door de dikke, zwarte en niet helemaal rechte diagonale lijn die in de originele 5×13 illustratie is getekend.