Hoe kan gebied een vector zijn?

Dit is misschien meer een wiskundige vraag . Dit is een eigenaardig iets met driedimensionale ruimte. Merk op dat in drie dimensies een gebied zoals een vlak een tweedimensionale deelruimte is. Op een vel papier heb je maar twee cijfers nodig om een punt ondubbelzinnig aan te duiden.

Stel je nu voor dat je op het vel papier staat, de richting waarin je hoofd wijst, zal altijd een manier zijn om te weten hoe dit vlak is gericht. in de ruimte. Dit wordt de “normale” vector voor dit vlak genoemd, het staat haaks op het vlak.

Als u nu de conventie kiest om de lengte van deze normaalvector gelijk te hebben aan de oppervlakte van dit oppervlak , krijg je een volledige beschrijving van het tweedimensionale vlak, zijn oriëntatie in de driedimensionale ruimte (het vectorgedeelte) en hoe groot dit vlak is (de lengte van deze vector).

Wiskundig kun je dit uitdrukken door het “kruisproduct” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ waarvan de grootte is gedefinieerd als $ | c | = | a || b | sin \ theta $ die gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram die van vectoren (die echt een vlak definiëren) overspanning. Om deze foto te stelen van het artikel van Wikipedia over het kruisproduct:

Zoals ik in het begin al zei dit is iets heel speciaals voor drie dimensies, in hogere dimensies werkt het om verschillende redenen niet zo netjes. Als u meer over dit onderwerp wilt weten, zou een trefwoord “exterieur algebra” zijn.

Update:

Wat betreft de fysieke betekenis van dit concept, prominente voorbeelden zijn vectorvelden die door oppervlakken stromen. Neem een ronde draad. Deze cirkel kan in 3D op verschillende manieren worden georiënteerd. Als je een extern magnetisch veld hebt, weet je misschien dat dit een elektrische stroom kan opwekken die evenredig is met de mate van verandering van de hoeveelheid die door de cirkel stroomt (denk hier aan hoeveel de pijlen het gebied perforeren). Als de magnetische veldvectoren evenwijdig aan de cirkel zijn (en dus orthogonaal op de normaalvector), “perforeren” ze het gebied helemaal niet, dus de stroom door dit gebied is nul.Aan de andere kant, als de veldvectoren orthogonaal zijn ten opzichte van het vlak (dwz evenwijdig aan de normaal), “perforeert” dit gebied maximaal en is de stroom maximaal.

als u de oriëntatie tussen die twee toestanden kunt u elektrische stroom krijgen.

Opmerkingen

• +1 voor vermelding van magnetische velden. Niet alle oppervlaktevectoren die in de natuurkunde worden gebruikt, zijn differentieel.
• Bedankt. Slechts een paar verduidelijkingen. Je vroeg me om me een persoon voor te stellen die op een papier staat & beschouw de richting van zijn hoofd als de normale vector. Maar stel dat deze persoon precies aan de andere kant stond en dan ‘ won als de oriëntatie van het papier nog steeds hetzelfde blijft? Maar nu is de richting van de vector in de tegenovergestelde richting. Gelieve te verduidelijken.
• Ten tweede zei u dat dit concept niet ‘ zo goed werkt in hogere dimensies. Betekent dit dan dat mijn vraag over de richting van een bol ‘ s gebied ongeldig is? Als dit het geval is, is gebied dan een scalair in dit specifieke geval, aangezien het beschouwen als een vector zijn oriëntatie in de ruimte niet kan specificeren?
• wat ‘ s weerhoudt u ervan tevreden te zijn ?
• Het ‘ is niet bevredigend omdat, hoewel axb een vector is, | axb |, dwz het gebied, een scalair is, daarom is het niet overtuigend dat het gebied is een vector.

Het belangrijkste gebruik is wanneer een gebied oneindig klein is, zoals men zou doen gebruik in een integraal. In dat geval kunnen we gemakkelijk zien dat het vlak is, en de vorm doet er niet echt toe. In dat geval kunnen we de informatie coderen als een vector, waarbij de grootte het (scalaire) gebied vertegenwoordigt; de keuze (zoals u opgemerkt) van het wijzen van een bepaalde kant is precies dat — een keuze — maar een die consequent kan worden gemaakt. We kunnen dit uitbreiden naar niet-oneindig kleine vlakken, maar het werkt niet zo goed voor gebogen oppervlakken.

Om precies te zijn, wat je echt wilt is een co-vector . Dit is een abstract gadget dat een vector neemt en een scalair uitspuugt. Voor een vlak wil je dat dit de “hoeveelheid” van de vector vertegenwoordigt die door het vlak gaat — dus het moet lineair zijn in de vector (verdubbeling van de vector verdubbelt de uitvoer) en het moet rekening houden met de hoek waaronder de vector raakt hem (geeft een factor $ \ cos $). Nu kunnen we de vraag stellen hoe we deze abstracte co-vector representeren , en het blijkt dat een vector een goed idee is! Concreet kunnen we de actie voorstellen als het nemen van het puntproduct, dat van nature codeert voor de lineariteit en de cosinus. Nu heeft dit in het algemeen hetzelfde aantal dimensies als een echte vector, maar dit codeert alleen een gebied (een 2D-oppervlak) in 3D — in 2D zou je een lijn krijgen, in 4D een volume (ja! Een 4-vector snijdt een volume op een gegeven moment!).

Als je meer wilt weten over dit soort dingen, dan wil je differentiële geometrie onderzoeken, waar alles duidelijk moet zijn over dit soort dingen en geen vectoren en co-vectoren (genaamd formulieren in dat veld). Een goed leesbare referentie is Meetvelden, knopen en zwaartekracht die uitgaat van een basisoverzicht van de wiskunde en deze ontwikkelt voor fysiek gebruik.

Opmerkingen

• In de context van veldtheorieën, zoals bij elektromagnetisme, is het concept van ” de hoeveelheid van een vector (veld ) dat door een vlaksegment gaat ” krijgt de naam flux . Dus je kunt een gebied beschouwen als gekenmerkt door een functie die vectoren (of een vectorveld) in kaart brengt met de flux van die vector (veld) door het gebied.
• @luksen het boek dat hij noemde is goed voor welk niveau van wiskundige en fysieke kennis? Om het anders te formuleren, wat zijn de vereisten om het boek efficiënt te kunnen volgen? En is het een afgestudeerd of niet-gegradueerd boek?

Denk aan Force is Pressure times Area ($ F = P \ cdot A $). Je weet dat druk een scalair is (er is geen richting aan verbonden), en een kracht is een vector (het werkt langs een as). Dus wat betekent dat voor druk.

Neem een klein gebied en zie dat het bijdraagt aan de totale kracht als gevolg van druk

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

De richting van de kracht is normaal voor het gebied en de grootte ervan is evenredig met de grootte van het gebied. Dit is waarom een oneindig gebied $ {\ rm d} A $ kan een vector zijn. Het is handig om te denken aan (vector) = (scalair) * (vector).

Er is een bijzonder pittoresk voorbeeld van de wet van Pythagors in drie dimensies die wordt toegepast op de gebieden van een simplex. (waarbij ik met “simplex” een gedeelte van de ruimte bedoel dat wordt begrensd door drie orthogonale vliegtuigen en een willekeurig vlak.) De som van de vierkanten (van de gebieden) van de drie kleine vlakken is gelijk aan het kwadraat van de oppervlakte van het schuine vlak. Het wordt gemakkelijk verklaard door de argumenten van het type druk / stroming die naar voren worden gebracht in de andere antwoorden die hier zijn gepost, plus de voor de hand liggende fysieke toestand dat een ongestoorde vloeistof in evenwicht is met zichzelf.