Ik “heb een vraag over het Black Model uit 1976 en het Bachelier-model uit 1976.
Ik weet dat een geometrische Brownse beweging in de P-maat $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ voor een aandelenkoers $ S_ {t} $ leads (na een verandering van maat) naar de Black- Scholes-formule voor een oproep:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Waar $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ en $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Ik weet eigenlijk niet hoe het mogelijk is om de beroemde zwarte formule aan te zetten een termijncontract:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
waar nu $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ en $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Moet ik gewoon $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ invoegen in het eerste BS formule om de tweede te krijgen?
Ik vraag dit omdat ik heb geprobeerd de BS-formule af te leiden met een rekenkundige Brownse beweging zoals $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a en ik krijg:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
waarbij $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ en $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ en bedenk dat $ N (d) $ en $ n (d) $ de CDF en PDF zijn.
maar de vorige vervanging $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ lijkt niet te leiden tot het bekende resultaat $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
waar nu $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Ik denk dat ik de vergelijkingen voorwaarts zou kunnen bereiken, beide in de geometrische Brownse beweging en rekenkundige Brownse beweging met behulp van de vergelijkingen
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ en $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ maar ik niet ” Ik weet niet hoe het gebruik ervan gerechtvaardigd is.
Reacties
- @Macro Welkom bij Quant. S.E.! Wilt u alleen een termijncontract of een optie op termijncontract prijzen?
- Hallo Neeraj, bedankt voor uw antwoord. Ik ‘ wil graag een prijs toekennen aan een optie op termijncontract!
- Vervang gewoon $ S_0 $ door $ F e ^ {- rT} $ in uw oorspronkelijke BS-formule of u kunt een risiconeutrale benadering gebruiken. Beiden leiden tot dezelfde waarderingsformule.
- Ok, bedankt. Maar kan ik hetzelfde doen voor de ABM? Omdat ik ‘ het resultaat niet kan krijgen als ik deze vervanging doe.
Antwoord
Europese optie voor de toekomst
Om de Europese optie voor de toekomst te prijzen, hoeft u alleen $ S_0 $ te vervangen door $ Fe ^ {- rT} $ in uw originele BS-formule of u kunt een risiconeutrale benadering gebruiken. Beide zullen leiden tot dezelfde waarderingsformule.
Amerikaanse optie op toekomst
Bovenstaande procedure kan niet worden gebruikt om een Amerikaanse optie op toekomst te prijzen. In een paper, De waardering van opties op toekomstige contracten door Ramaswamy , stelde dat
Er is geen analytische oplossing bekend voor de waardering van een Amerikaanse optie op een toekomstig contract.
Auteurs gebruikten een impliciete eindige-verschilmethode om de Amerikaanse optie op een toekomstig contract te prijzen.
Bewerken: Afleiding van prijs van Europese optie op toekomstig contract
Onder risiconeutrale maatstaf, toekomstige prijs, $ F_t $ voldoen aan de volgende SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ waar, $ W_t $ is een Wiener-proces. Het kan gemakkelijk worden aangetoond dat: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
De prijs van optie op toekomstig contract $ (C_t) $ onder risiconeutrale maatstaf is: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
U kunt de bovenstaande uitdrukking gemakkelijk oplossen om de prijs van de optie op future te schrijven. De distributie van $ F_T $ lijkt sterk op $ S_T $ (zie dit antwoord) . Als u $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ vervangt, krijgt u dezelfde verdeling van $ S_T $ als onder risiconeutrale maatregel. Dit is de reden dat we $ S_t $ vervangen door $ F_t e ^ {- om de prijs van een optie in de toekomst te krijgen. r (Tt)} $ in BS-model van Europese calloptieprijs.
Opmerkingen
- Hallo Neeraj, eigenlijk heb ik ‘ wil een Europese optie prijzen uitgaande van een ABM.
- @Marco, controleer aub het antwoord bewerken.
Antwoord
Dit is een eenvoudige manier om de prijs van het gesprek op de forwards-prijs te krijgen met behulp van risiconeutrale prijzen.
Stel dat we een Europese oproep hebben die betaalt op $ t = T $ , $ (voor ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , waarbij $ T ^ * \ geq T $ . Ga er verder van uit dat rentetarieven constant zijn en worden weergegeven door “ $ r $ “. Laat $ c ^ {For} (t, s) $ de prijs zijn van het gesprek waarbij $ S (t) = s $ .
Als het aandeel dan geen dividend uitkeert:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Door replicatie kan het worden getoond, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , en
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Aangezien de rentetarieven constant en dus deterministisch zijn, zou u dit onmiddellijk moeten opmerken. We kunnen de “ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” term buiten de verwachting:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Dit is dus nu evenredig met de Black Scholes-call-prijs met staking $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Voor } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , waarbij $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
ook:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Dit is de “beroemde zwarte formule op termijncontract”. Ik hoop dat dit helpt!
Houd er rekening mee dat de termijnprijs en de prijs van het termijncontract niet hetzelfde zijn. De prijs van het termijncontract op tijdstip 0 is 0, maar kan veranderen, de termijnprijs is de prijs die u afgesproken heeft te betalen bij levering.
Als u nieuwsgierig bent naar wat het zou zijn als het een telefoontje was de futures-prijs in plaats van een call op de termijnprijs, ik beweer dat als de activaprijs niet gecorreleerd is met de rentevoet, ze hetzelfde zijn, anders zou er arbitrage zijn (onder de veronderstelling dat er geen tegenpartijrisico is, enz.). Ik moedig je aan om dit te proberen te laten zien.
(PS op de reactie van de vorige commentatoren dat er geen formule is voor een Amerikaanse optie op de termijnprijs, dit weerhoudt ons er niet van om Monte Carlo te gebruiken!)