Hoe kunnen we verklaren dat beryllium als metaal positieve ladingsdragers heeft (uit Feynman Lectures)?

Van enig belang is misschien Loucks and Cutler, Phys Rev die het berekende Be Fermi-oppervlak toont, hier weergegeven:

Merk op dat dit in niets lijkt op een vrij elektron -achtige bandstructuur die de meesten van ons min of meer aannemen voor een metal. Twee dingen vallen op: ten eerste is het Fermi-oppervlak geen bol, en ten tweede is er een zeer grote anisotropie tussen in-plan en out-plane elektronische structuur voor het hcp Be-kristal.

Deze verbinding van die structuur met het Hall-effect wordt behandeld in Shiozaki, J. Phys. F . De in-plane en out-of-plane Hall-coëfficiënten hebben een verschillend teken omdat ze zeer verschillende transportpaden zien. Afbeelding hieronder toont de parallelle en loodrechte Hall-coëfficiënten gemeten voor eenkristal Be.

Om te citeren uit de abstract,

Het blijkt dat de grote absolute waarden van R $ _ {Hparallel} $ en R $ _ {Hperp} $ worden veroorzaakt door respectievelijk lichte elektronen en lichte gaten.

Kijk vooral naar FIg. 3 in de krant ziet men dat de “coronet” gatengeleiding heeft en de “sigaar” elektronengeleiding. Deze twee heel verschillende Fermi-oppervlakken leiden vervolgens tot twee heel verschillende Hall-gedragingen.

Er is ook enige discussie in Ashcroft en Mermin in hoofdstuk 15 waar er een korte sectie is over “The Hexagonal Divalent Metals”.

Dit zou moeten dienen als een herinnering dat de zeer vereenvoudigde afbeeldingen van “bandstructuur” die we in ons hoofd houden, vaak weinig te maken hebben met de complexe realiteit van kristallen. Af en toe is het handig om dingen tegen te komen als Be (zoals hier) of Fe ( https://chemistry.stackexchange.com/a/80673/5677 ).

Opmerkingen

• Dit is een zeer goede kandidaat voor het juiste volledige antwoord. Ik zal de documenten bekijken waarnaar u verwijst in de hoop beter te begrijpen waarom het fermi-oppervlak er zo uitziet – voor zover ik kan vertellen is de enige ontbrekende schakel voor een volledige uitleg. Het kan echter zijn dat ik een paar dagen nodig heb om dit alles te verwerken en te verwerken, aangezien ik ‘ duidelijk geen expert op dit gebied ben.
• @fruchti – I het laatste stukje toegevoegd omdat, voor beter of slechter, de meeste solid state physics cursussen zich richten op de bandstructuren die het dichtst bij ‘ vrij-elektron-achtig ‘. Dan houden we die simpele plaatjes in ons hoofd en negeren we alle gekte die er werkelijk is. In de halfgeleiderfysica worden mensen slecht gebeten als ze om vergelijkbare redenen naar heterostructuren of band-gap-constructies gaan – de werkelijkheid is complexer dan onze inleidende mentale modellen.

Het verschil tussen een metaal en een halfgeleider is dat de bovenste energieband van een metaal gedeeltelijk gevuld is met elektronen, terwijl we in een halfgeleider de valentieband onderscheiden, gevuld tot de top, en de geleidingsband, dat wil zeggen leeg (bij temperatuur nul). De gedeeltelijk gevulde band in een metaal wordt meestal geleidingsband genoemd, maar de analogie met de geleidingsband van een halfgeleider is alleen correct als minder dan de helft van deze band is gevuld. Aan de andere kant, als meer dan de helft van deze band is gevuld, zullen de elektronen bewegen in het deel van de band met de negatieve kromming, dwz hun gedrag zal meer lijken op dat van de gaten in de valentieband van een halfgeleider. . Ik weet niet of dit het geval is voor Berillium, maar ik denk dat het antwoord van @Agnius Vasiliauskas dit punt duidelijk maakt.

Opmerking over de band energie
Voor vrije elektronen wordt de energie gegeven door $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m}, $$ maar voor bandelektronen is dit niet het geval, aangezien de energie van de band wordt begrensd van onderen en van bovenaf. Een goede manier om dit te visualiseren is de eendimensionale strakke- bindend model, waarbij $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ waar $ 2 \ Delta $ is de bandbreedte en $ a $ is de roosterconstante. Als de concentratie van de elektronen laag is, is het gerechtvaardigd deze energie uit te breiden in de buurt van zijn minimim, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ We kunnen dan t definiëren de effectieve massa $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( effectieve massa-benadering ) en behandel de elektronen, alsof ze een vrij elektronengas zijn.

Als de band echter bijna gevuld is, hebben we meer recht op het uitbreiden van de energie van de band nabij het hoogste punt, $ k = \ pi + q / a $ , met als resultaat $$ \ epsilon (k) \ approx \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ In dit geval heeft men het over negatieve effectieve massa , wat leidt tot het geheel-achtige gedrag van de geleidende eigenschappen.

Een ander manier om ernaar te kijken is door op te merken dat de elektronensnelheid die de uitdrukking voor de stroom invoert, wordt gedefinieerd als de groepssnelheid van de kansgolven: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ wat ons een vertrouwd momentum geeft over massa voor vrije elektronen $ v (k ) = \ hbar k / m $ , maar ziet er nogal anders uit huur voor elektronen in de band, waar het negatieve waarden kan aannemen (d.w.z. gatachtig gedrag vertonen): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Reacties

• Zou je het erg vinden om uit te leggen waarom de band in een metaal in de eerste plaats gebogen is? Het lijkt mij dat er twee manieren zijn om het te beschrijven: via elektronengas zoals beschreven door @Agnius Vasiliauskas en via bandstructuur, en ik zie niet ‘ hoe ze elkaar overlappen
• @fruchti Ik heb meer materiaal toegevoegd. Het is echt te kort voor een inleiding tot de bandtheorie, maar ik hoop dat het zal helpen.

Als positieve ladingsdragers kunnen gaten en ionen zijn. Als je de eerste ionisatie-energieën van metalen bekijkt:

U zult zien dat de kleinste eerste ionisatie-energie $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ Alkalimetaalgroep heeft:
lithium (Li), natrium (Na), kalium (K), rubidium (Rb), cesium (Cs), francium (Fr).
Aardalkalimetaalgroep heeft eerste ionisatie-energieën tussen $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {ionization}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Tot deze groep behoort:
beryllium (Be) , magnesium (Mg), calcium (Ca), strontium (Sr ), barium (Ba), radium (Ra).
Lage ionisatiedrempels in alkali- en alkalimetalen kunnen worden gezien als een goede ondersteuning voor een grotere concentratie van vrije elektronen in dergelijke metalen en dit impliceert een grotere concentratie van positieve ladingen – gaten & ionen in hen ook, want wanneer een atoom wordt geïoniseerd – wordt een losgekoppeld elektron eruit verwijderd en wordt het een vrij elektron, dus wordt het atoom een positief geladen ion, of met andere termen – op een plaats waar het elektron eerder was, is nu een gat, $ 𝑒 ^ + _ Ø $ charge.

BEWERKEN

Wat betreft waarom in dit geval positieve ladingen de belangrijkste ladingsdrager zijn, – ik weet de exacte oorzaak niet, maar mijn fysieke intuïtie zegt dit. Volgens de kinetische theorie van gassen, betekent gratis pad van deeltje is gedefinieerd als: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ Voor $ \ pi d ^ {2} $ kunt u effectiv Het dwarsdoorsnedegebied van botsing tussen vrije elektronen en atomen. En omdat vrije elektronen een Fermi-gas vormen, kun je voor druk elektron-degeneratiedruk nemen, namelijk: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

waarbij $ n $ is de dichtheid van het aantal vrije elektronen.

Dus wanneer de getalsdichtheid toeneemt (zoals bij deze gemakkelijk ioniseerbare materialen), dan neemt de gedegenereerde elektronengasdruk ook toe. Naarmate de fermigasdruk toeneemt, neemt het gemiddelde vrije pad van elektronen af, wat betekent dat het voor grotere elektronenconcentraties veel moeilijker is om vrijelijk te bewegen. Omdat gaten dus aan een atoom zijn gebonden en geen onderwerp zijn van atoomverstrooiingseffecten, reageren ze gelijkmatiger op het Hall-effect. Dat is mijn schatting van 2 cent.

Opmerkingen

• Kun je dieper ingaan op hoe een grotere concentratie van vrije elektronen leidt tot een grotere concentratie? van gaten en ionen? En als we er genoeg van beide hebben, waarom transporteren de gaten dan de ladingen, niet de elektronen?
• Ik ‘ heb mijn antwoord aangepast .
• Als ik uw argumenten goed begrijp, zou u een positieve Hall-coëfficiënt voor de alkhalimetalen voorspellen? Maar dit is niet wat wordt waargenomen. Ook ben ik verbaasd te lezen dat gaten aan een atoom gebonden zijn. Kun je alsjeblieft meer in detail uitleggen wat je in gedachten hebt?
• Ik bedoel gaten zijn niet zoals vrije elektronen. Vrije elektronen zijn niet gebonden aan een atoom, maar gaten zijn , ze kunnen tussen atomen bewegen, maar ze kunnen ‘ geen atoom verlaten, omdat een gat per definitie leeft op een plaats waar een elektron aan een atoom is gebonden.
• Dan denk ik dat dit verkeerd is. Hoe zit het met mijn eerste opmerking, nietwaar? uw antwoord impliceert een positieve Hall-coëfficiënt voor alkhalimetalen?

Ziman biedt de oplossing in “Elektronen in Metals: A short guide to the Fermi Surface “, in deel III.

Het korte antwoord is “vanwege de interactie tussen de elektronen en het rooster.”

Dit impliceert dat het vrije elektronenmodel (leidend tot een bolvormig Fermi-oppervlak) niet in staat is om te verklaren dit gedrag.

Het iets ingewikkelder antwoord zou kunnen zijn: Als er geen interactie was tussen vrije elektronen en het rooster, zou het Fermi-oppervlak (bepaald door $ E (\ vec k) $ ) zou een perfecte bol zijn en de snelheid van de elektronen die bijdragen aan geleiding zou parallel zijn aan het (kristal) momentum $ \ vec k $ en het is altijd normaal voor het Fermi-oppervlak.De aanwezigheid van het rooster wijzigt echter de vorm van het Fermi-oppervlak (vervormt het) zodat de snelheid van de (quasi) elektronen, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ , kan ernstig worden gewijzigd als gevolg van de interactie tussen de elektronen en het rooster, waardoor ze een snelheid hebben die niet parallel is aan het kristal momentum, maar nog steeds loodrecht op het Fermi-oppervlak.

Wanneer nu een elektrisch veld loodrecht op een magnetisch veld wordt aangelegd (Hall-effect), zullen de elektronen onder een Lorentz-kracht staan. Door de Lorentzkracht te combineren met de hierboven beschreven snelheidsformule, komt men tot de conclusie dat het is alsof sommige elektronen een negatieve effectieve massa hebben. Deze kunnen worden gezien als “gaten”.

Dit argument kan worden gebruikt om uit te leggen waarom Be, Zn, Cd, Sn en Pb positieve Hall-coëfficiënten vertonen ondanks dat ze “metalen” zijn.