Het is bekend dat een standaard multivariate Brownse brug $ y (\ mathbf u) $ een gecentreerd Gaussisch proces is met covariantiefunctie $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Ik weet niet zeker hoe ik zon multivariate Brownse brug moet bouwen.
Mijn eerste gedachte was om op de een of andere manier te beginnen met een univariate Brownse brug. Ik heb daar informatie over gevonden en zelfs een pakket in R dat dit kan doen, maar alleen voor de univariate Brownse brug.
Ik vond dit , maar zoals ik het begrijp, wat er is gedaan, is er geen standaard multivariate Brownse brug zoals hierboven gedefinieerd of bijv. in dit artikel .
Ik zou elke hints en ondersteuning op prijs stellen.
Reacties
- Zoals ik ontdekte in Deheuvels paper link is er de volgende relatie tussen een Brownse brug $ B_t $ en een Brownse plaat (of Wiener-plaat) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Dus ik denk dat het probleem beperkt is tot het simuleren van een Brownse plaat. Ik zal mijn vragen hierover in een aparte vraag stellen.
- correctie, de relatie voor meer dimensies is $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Gerelateerd: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Answer
Zoals je al hebt aangegeven in de commentaren, reduceert de vraag tot het simuleren van een Brownse plaat. Dit kan gedaan worden door simulatie van Brownse beweging op een eenvoudige manier te generaliseren.
Om de Brownse beweging te simuleren, kan men een i.i.d. gemiddelde-0 variantie-1 tijdreeks $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , en construeer het genormaliseerde gedeeltelijke somproces $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Als $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergentie zwak (in het gevoel van Borel-kansmetingen op een metrische ruimte) naar de standaard Brownse $ B $ op de Skorohod-ruimte $ D [0 , 1] $ .
Het iid met eindige tweede-moment-case is de eenvoudigste manier om te simuleren. Het wiskundige resultaat (Functional Central Limit Theorem / Donskers Theorem / Invariance Principle) geldt in veel grotere algemeenheid.
Om nu het (zeg maar tweedimensionale) Brownse blad te simuleren, neemt een gemiddelde-0 variantie -1 array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , en construeer het genormaliseerde gedeeltelijke somproces $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Als $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergentie zwak naar het standaard Brownse blad op de Skorohod-ruimte $ D ([0,1] ^ 2) $ op het eenheidsvierkant .
(Het bewijs is een standaard argument van zwakke convergentie:
-
Convergentie van eindige dimensionale distributie volgt uit de Levy-Lindeberg CLT.
-
Krapte op $ D ([0,1] ^ 2) $ volgt uit een voldoende momentconditie die triviaal geldt in de i.i.d. eindig tweede moment-geval — zie bijv. Bickel en Wichura (1971). )
Vervolgens, door de stelling van de continue mapping $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ convergeert zwak naar de tweedimensionale Brownse brug.