Er “is al een vraag als deze hier zodat mijn vraag in overweging kan worden genomen dupliceren, maar ik zal proberen mijn punt duidelijk te maken dat dit een andere vraag is.
Is er een manier om de Wet van Biot-Savart af te leiden uit de Lorentz “Force-wet of alleen uit de vergelijkingen van Maxwell?
Het punt is dat we meestal op basis van experimenten definiëren dat de kracht die wordt gevoeld door een bewegende lading op de aanwezigheid van een magnetisch veld $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ maal is \ mathbf {B} $, maar in dat geval moet het magnetische veld meestal later worden bepaald.
Kan die krachtwet nu op de een of andere manier worden gebruikt om de Biot-Savart-wet te verkrijgen zoals we de vergelijking voor het elektrische veld rechtstreeks uit de Krachtwet van Coulomb halen?
Ik wilde weet dat, zoals aangegeven in de vraag die ik heb genoemd, hoewel Maxwells vergelijkingen als fundamenteler kunnen worden beschouwd, deze vergelijkingen worden verkregen nadat we de wetten van Coulomb en Biot-Savart kennen, dus als we beginnen met Maxwell s vergelijkingen om Biot-Savart te verkrijgen door het te gebruiken om Maxwells vergelijkingen te vinden, dan denk ik dat we in een cirkelvormig argument zullen vervallen.
In dat geval, zonder terug te vallen op Maxwells vergelijkingen, is de enige manier om de wet van Biot-Savart te verkrijgen is door middel van observaties of kan deze op de een of andere manier worden afgeleid?
Reacties
- Noch Maxwell noch Biot-Savart zijn fundamenteel – al dergelijke formules volgen uit Coulomb en een goedgekozen definitie van $ B $, zoals tangentieel vermeld in deze korte rant .
- @ ChrisWhite, Maxwell s vergelijkingen volgen niet alleen uit de wet van Coulomb, de speciale relativiteitstheorie en definities. De Gauss-wet voor niet-rechtlijnige beweging van ladingen kan bijvoorbeeld niet worden afgeleid zonder verdere aannames.
- Ik denk dat @Hans de Vries een elegant antwoord kan geven.
Antwoord
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ De wet van Biot-Savart is een gevolg van de vergelijkingen van Maxwell.
We gaan ervan uit Maxwells vergelijkingen en kies de Coulomb-meter, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Vervolgens $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Maar $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partiële \ VE} {\ partiële t} = \ mu_0 \ VJ. $$ In de stabiele toestand betekent dit $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ We hebben dus de Poisson-vergelijking voor elk onderdeel van de bovenstaande vergelijking. De oplossing is $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r “. $$ Nu hoeven we alleen maar $ \ VB = \ nabla \ times \ VA te berekenen $. Maar $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr “) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3} $$ en dus $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ keer (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r “. $$ Dit is de wet van Biot-Savart voor een draad met eindige dikte. Voor een dunne draad reduceert dit tot $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ keer (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3}. $$
Addendum : in wiskunde en wetenschappen is het belangrijk om rekening houden met het onderscheid tussen de historische en de logische ontwikkeling van een onderwerp. Het kennen van de geschiedenis van een onderwerp kan nuttig zijn om een idee te krijgen van de betrokken persoonlijkheden en soms om een intuïtie over het onderwerp te ontwikkelen. De logische presentatie van het onderwerp is de manier waarop beoefenaars erover denken. Het vat de belangrijkste ideeën op de meest complete en eenvoudige manier samen. Vanuit dit standpunt is elektromagnetisme de studie van Maxwells vergelijkingen en de Lorentz-krachtwet. Al het andere is ondergeschikt, inclusief de wet Biot-Savart.
Reacties
- Maar hoe ik ‘ het gezien heb, Maxwell ‘ s vergelijkingen zijn afgeleid van de biot-savart wet, die deze circulaire zou maken.
- @JLA: ik ‘ heb iets toegevoegd aan adres de ” circulariteit ” waarnaar u verwijst.
- @JLA, het is niet mogelijk om Maxwell iskundig af te leiden ‘ s vergelijkingen uit de wet van Biot Savart. Wat mensen soms doen, is de vergelijkingen van Maxwell ‘ s afleiden uit de wet van Biot-Savart voor een specifiek geval, zoals stationaire stromen, en ze vervolgens per woord generaliseren naar alle situaties. / li>
- Voor de duidelijkheid worden differentiële operatoren toegepast op $ {\ bf r} $ en niet op $ {\ bf r ‘} $, die ‘ s hoe ze worden verwisseld met integralen boven $ {\ bf r ‘} $.
- @AG Het heeft inderdaad geen zin om de afgeleide te nemen met betrekking tot $ {\ bf r ‘} $.We hebben $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partieel / \ partieel x_i $, niet $ \ som \ hat e_i \ partieel / \ partieel x ‘ _i $ (waarvoor ik zou $ \ nabla ‘ $ of zoiets schrijven).
Antwoord
Het kan waar zijn dat mensen vroeger de kracht maten die het gevolg was van een gloeidraadstroom, de wet van Biot-Savart ontdekten en die vervolgens als inspiratie gebruikten om Maxwells vergelijkingen te construeren. hoe het werkelijk historisch is gebeurd, prima.
Maar dit is analoog aan een buitenaardse archeoloog die 10 miljoen jaar vanaf nu een skeletachtige hand en voet in de aarde vindt. Uit de hand komt de archeoloog te weten wat het dier met die hand er graag mee deed: dat het gereedschap kon grijpen en gebruiken, enzovoort. Aan de voet komt de archeoloog tot het besef dat het dier waartoe het behoorde op twee benen liep en dat het op volwassen leeftijd typisch zon 100-300 pond woog.
Pas later weet de archeoloog dat de hand en de voet behoorden allebei tot hetzelfde dier – een mens. Maar de aard van het werk houdt in dat de puzzel van wat een mens was, moet worden opgesplitst in stukjes die individueel kunnen worden begrepen, voordat het hele plaatje samen kan komen. Dat gezegd hebbende, zou het achterstevoren zijn om te suggereren dat de hand en de voet fundamenteler zijn dan de mens zelf.
De Maxwell-vergelijkingen zijn geconstrueerd om consistent te zijn met de Biot-Savart-wet en andere stukjes informatie , zoals de wet van Coulomb. U kunt dus Biot-Savart afleiden van Maxwell, maar niet andersom, want Maxwell is algemener en alomvattend.
Als u al weet de Lorentz-krachtwet, je kunt de sterkte van het magnetische veld afleiden uit een draad door geladen testdeeltjes in de buurt van de draad te schieten en hun beweging te observeren. Maar dit roept de vraag op hoe je de Lorentz-krachtwet al kent, en dus op.
Je kunt de hele dag in cirkels gaan over wat wel of niet fundamenteel is, over wat gebaseerd moet zijn op experimentele observatie en wat alleen geconstrueerd is om consistent te zijn met die observaties, maar vaak is er een voorkeur voor “eenvoudige” experimentele waarnemingen die als fundamentele versus theoretische constructies worden beschouwd t hat bevat veel van dergelijke observaties – zie de opmerking van Chris White dat Maxwells vergelijkingen kunnen worden afgeleid uit de wet van Coulomb en wat andere dingen.
Voor mij is dit dom. De vergelijkingen van Maxwell bevatten de som van onze waarnemingen (die in ieder geval passen bij het klassieke regime). Voor mij is het is wat we weten over klassiek elektromagnetisme. Zeggen dat je Maxwell kunt afleiden ” s vergelijking met slechts één resultaat plus een paar aannames … nou, het mist het punt dat die aannames ook in de eerste plaats moesten worden getest en geverifieerd. Voor mij is het erg achterlijk om speciale gevallen (puur elektrische, puur magnetische, statische of dynamische velden) eruit te halen en ze als “fundamenteel” te behandelen.
Bewerken: maar echt, een natuurkundige moet in beide richtingen werken. Om een nieuwe theorie te creëren, hebben we vaak speciale gevallen waarvan we niet weten dat ze met elkaar verbonden zijn en die ze met elkaar moeten overbruggen. Dat is het bouwen van Maxwells vergelijkingen uit de wet van Coulomb en Biot-Savart. Om een bepaald probleem het gemakkelijkst te analyseren, waarvan we niet zeker weten of er een formule voor speciale gevallen is, moeten we onze toevlucht nemen tot de meest algemene beschrijving (Maxwell) en proberen het terug te brengen tot iets eenvoudiger en gemakkelijker op te lossen (in de geval van geen stroom en geen tijdafhankelijkheid, kunt u teruggaan naar de wet van Coulomb). Beide benaderingen zijn nodig om zo flexibel mogelijk te zijn.
Answer
Uitgaande van een Rowland Ring-type experiment is het mogelijk om permeabiliteit als een maat voor de flux die wordt gegenereerd in een eenheidsvolume per ampère-draai. Als we vervolgens aannemen dat deze flux verdwijnt als een inverse kwadratische wet, verkrijgen we de biot savart-wet als een magetisch analoog van de wet van coulomb met de toevoeging van het kruisproduct dat zorgt voor de loodrechtheid van de veldrichting en strikt met dien verstande dat het is een werkhypothese die wordt gevalideerd door zijn bruikbaarheid, aangezien een huidig element niet geïsoleerd kan bestaan van de rest van zijn circuit. Mijn advies – Negeer alle verleidingen om in meer wiskunde te vervallen dan het minimum dat nodig is, dat zal je tot begrip leiden. Ik hoop dat dit helpt .
Antwoord
Volg de volgende link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot en ga naar het kopje “Werk”. Er staat dat de wet experimenteel werd ontdekt in het jaar 1820, dwz 45 jaar voordat de Maxwell-vergelijkingen werden gepubliceerd. De algemene formulering van de De wet van Biot-Savart werd gegeven door P. Laplace. De uitdrukking van de wet van Biot-Savart (de integratie) toont aan dat de pri ncipel van superpositie is er al in opgenomen.Maxwell-vergelijkingen werden later ontwikkeld en ze werden op geschikte wijze ontworpen om de implicaties van de wet van Biot-Savart te omvatten. Misschien is dat de reden waarom we de vergelijkingen van Maxwell kunnen afleiden uit de wet van Biot-Savart en vice versa.
Ga naar deze link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force en ga naar het gedeelte “Geschiedenis”. Er staat dat in het jaar 1881, dwz 16 jaar nadat de Maxwell-vergelijkingen werden gepubliceerd, leidde Thomson eerst een vorm van de Lorentz-krachtwet af uit de Maxwell-vergelijkingen. Ten slotte werd de moderne vorm van de Lorentz-krachtwet door Lorentz in 1892 afgeleid uit de Maxwell-vergelijkingen.
Dus de historische volgorde is als volgt:
Biot-Savarts wet ==> Maxwells vergelijkingen ==> Lorentz dwingt wet.
Maar in de klas zijn we onderwezen in de volgende volgorde:
Ten eerste: de Lorentz-krachtwet, om het concept te introduceren dat magnetisch veld kracht uitoefent op een bewegende lading.
Ten tweede: de wet van Biot-Savart, om introduceer het concept dat bewegende cha rges produceren een magnetisch veld.
Ten derde: de vergelijkingen van Maxwell; de generalisatie van alle experimentele waarnemingen in elektromagnetisme.
Dus de conclusie is:
(1) De wet van Biot-Savart is een experimenteel waargenomen wet. Deze wet omvat ook het idee dat superpositieprincipe is ook geldig in magnetostatica. Deze wet vormde de basis voor magnetostatica.
(2) De vergelijkingen van Maxwell werden zo afgeleid dat ze de bevindingen van de wet van Biot-Savart ( samen met andere experimentele observaties van elektromagnetisme). Het is een theoretische generalisatie. De vergelijkingen van Maxwell zijn fundamenteler dan enige andere experimentele waarneming, omdat experimenten gewoonlijk onder bepaalde omstandigheden worden uitgevoerd en dus geen algemene informatie kunnen geven.
(3) Lorentz-krachtwet is afgeleid van de vergelijkingen van Maxwell, maar kan direct experimenteel worden geverifieerd.
OPMERKING
“Observatie en dan generalisatie”: ik denk dat dit de manier is waarop natuurkunde wordt ontwikkeld. Observatie (experiment) legt altijd de basis. Generalisatie omvat de waarneming en breidt deze bruikbaarheid uit naar andere denkbare configuraties, gevallen en omstandigheden. Daarom is het altijd mogelijk om generalisatie af te leiden uit observatie en vice versa [De wet van Biot-Savart kan worden afgeleid uit Maxwell-vergelijkingen en Maxwell-vergelijkingen kunnen worden afgeleid uit de wet van Biot-Savart ] .
Hier wordt benadrukt dat de wet van Biot-Savart de belangrijke observatie is waarmee het veld van magnetostatica is begonnen. Maxwell-vergelijkingen (generalisatie) en het concept van vectorpotentiaal (een algemene eigenschap van vectorveld) kunnen worden gebruikt de wet van Biot-Savart af te leiden, maar dat betekent niet dat de wet slechts een tussenstap is in de ontwikkeling van kennis over magnetostatica. Dat het mogelijk is om de wet van Biot-Savart af te leiden uit Maxwell-vergelijkingen en het concept van vectorpotentiaal bevestigt alleen dat de generalisatie in Maxwell-vergelijkingen correct is.
Reacties
- Maar het OP vroeg niet naar de historische volgorde van de gebeurtenissen.
Antwoord
We moeten kijken naar de tijdlijn (de geschiedenis). De wet van Biot-Savart werd gepubliceerd voorafgaand aan de publicatie van Maxwell-vergelijkingen. Het is dus de wet van Gauss voor magnetische velden (de tweede Maxwell-vergelijking) die is afgeleid van de wet van Biot-Savart en niet andersom. De afleiding van de wet van Gauss voor magnetische velden (de tweede Maxwell-vergelijking) ) uit Biot-Savart Law kan hier worden gelezen Gausss wet voor magnetische velden
Antwoord
Het probleem met de wet van Biot-Savart is dat deze theoretisch is geformuleerd in termen van huidige elementen $ Idl $ en vervolgens geïntegreerd. Maar in de meeste studieboeken is het ook geformuleerd voor POINT-kosten, in termen van $ qv $ . Het probleem hier is dat wanneer een puntlading $ q $ met snelheid $ v $ beweegt, het magnetische veld in nabijgelegen ruimtes VERANDEREN met de tijd, dwz we hebben een $ \ frac {dB} {dt} $ , en dan vinden inductie-effecten plaats en wordt de magnetostatische toestand geschonden. Wanneer daarentegen $ Idl $ is geïntegreerd langs een ononderbroken draad, is het veld $ B $ constant (magnetostatisch ). De twee situaties zijn zeer verschillend en voor zover ik weet is het veld puntlading $ B $ nooit rechtstreeks gemeten. De kracht op $ qv $ , ja, maar niet het veld geproduceerd door $ qv $ .