Is GameScience ' s niet-cilindrische zevenzijdige dobbelsteen een evenwichtige / eerlijke dobbelsteen?

Het echte experiment is moeilijk

De gekoppelde dobbelstenen in de vraag zijn niet op voorraad, dus alleen mensen die al veel van deze dobbelstenen hebben en die bereid zijn om de statistische tests uit te voeren, kunnen het ” true ” antwoord geven. Ik vermoed dat die populatie vrij klein is. Ik denk echter dat de bestaande literatuur en een beetje deductie een theoretisch en historisch perspectief kunnen geven op de eerlijkheid van deze d7.

Het is mogelijk om een eerlijke d7 te hebben in specifieke scenarios

Ten eerste is het theoretisch zeker mogelijk om een zevenzijdige dobbelsteen te hebben. De getoonde dobbelsteen is een vijfhoekig prisma. Geometrisch wordt de eerlijkheid van de matrijs het sterkst beïnvloed door de verhouding tussen de vijfhoekige vlakken en de rechthoekige zijden. . Ik “heb een snelle mock-up gemaakt van de twee uitersten:

• Gezichten zijn groter dan zijden: Dit komt overeen met de vorm aan de linkerkant. Deze extreme voorkeur geeft sterk de voorkeur aan de vijfhoekige vlakken – het is eigenlijk een munt en het is moeilijk voor te stellen dat het ooit op de randen terechtkomt.

• Zijden zijn groter dan de gezichten: Dit komt overeen met de vorm aan de rechterkant . In dit geval lijkt de dobbelsteen meer op een potlood en valt hij bijna altijd op de zijkanten.

Als men de formaatverhouding tussen de zijkanten en de gezichten soepel aanpast, zal er een specifiek punt zijn waar een overgang tussen de voorkeur geven aan de zijkanten en de voorkeur geven aan de gezichten. Deze onderschepping is het punt waarop de dobbelsteen eerlijk is. Daarom is het mogelijk om een eerlijke 7-zijdige dobbelsteen te hebben.

Deze magische verhouding m Het is niet voor alle omstandigheden hetzelfde. Dit antwoord op MathOverflow stelt dat voor niet-isohedrale dobbelstenen de eerlijkheid van het resultaat afhangt van hoe je het gooit. Evenzo beweert deze willekeurige pagina op internet dat verschillende oppervlakken de uitkomst van de worp kunnen beïnvloeden. Geen van beide bronnen levert hard bewijs voor hun beweringen, maar het is de moeite waard om in overweging te nemen dat het hierboven gepresenteerde tussenwaardeargument niet bewijst dat een enkele d7 redelijk kan zijn onder alle conditions .

Het patent voor deze d7 laat zien dat het getest is op eerlijkheid

Dus de vraag is: hebben die specifieke dobbelstenen de noodzakelijke geometrie om eerlijk te zijn? De productbeschrijvingspagina waarnaar het OP linkt bevat een patentnummer: US PAT No. D-4.900.034. Dit nummer komt overeen met het patent ” Willekeurige speelstukken en indeling en speeltafel voor gokken voor gebruik met dezelfde ” opgeslagen door Bernard Bereuter in 1988.Dit octrooi beschrijft onder andere de constructie en eerlijkheid voor deze specifieke d7 voor gokdoeleinden:

Gebruik van gevormde speelstukken van hard plastic van een soort zoals zou kunnen worden gebruikt voor standaard dobbelstenen, experimenten hebben aangetoond dat de gewenste willekeurige landing van de stukken wordt bereikt als de regelmatige vijfhoek van doorsnede precies past in een cirkel met een diameter van 1 inch (resulterend in omtreksranden 3 met een lengte van 0,588 inch) en de lengte van het prisma is 0,753 inch, voor stukken die over vilt met schuimrug worden gerold en over een hard horizontaal oppervlak zijn uitgerekt.

…

A willekeurig gokspel bestaande uit een niet-rechthoekig prisma … met aanduidingen die gelijkmatig verdeeld zijn rond de omtrek, waarbij de lengte van het prisma anders is dan de lengte van een zijde van de regelmatige dwarsdoorsnede van de veelhoek en gelijk is aan de lengte die nodig is zodat de kans op het prisma dat op een van zijn eindvlakken landt, is ongeveer gelijk afhankelijk van de waarschijnlijkheid dat het landt op een van zijn zijvlakken.

Dus, meneer Bereuter heeft blijkbaar de empirische tests uitgevoerd die nodig zijn om de ideale maatverhouding te bepalen voor een eerlijke zevenzijdige dobbelsteen, op zijn minst op één bepaald oppervlak.

Helaas, omdat zijn gegevens zijn niet openbaar en de dobbelstenen zijn momenteel niet beschikbaar, we kunnen zijn resultaten niet zelf verifiëren of herhalen. Het is zeker mogelijk dat de dobbelstenen die op die site zijn gekocht ook om andere redenen niet eerlijk zijn. Toch heeft de uitvinder van deze d7 duidelijk veel moeite gedaan om de benodigde afmetingen te bepalen om een eerlijke dobbelsteen te maken.

Als GameScience de afmetingen in het octrooi dat ze noemen nauwkeurig zou volgen, dan is hun d7 waarschijnlijk redelijk genoeg voor RPG-doeleinden. Het oorspronkelijke octrooi was tenslotte bedoeld voor gokdoeleinden, en naar mijn ervaring zijn TTRPGs veel minder gevoelig voor oneerlijke dobbelstenen dan gokken.

Opmerkingen

• Ik heb een klacht met dit antwoord (sorry dat ik het niet onderbouw met bronnen): de kans dat een dobbelsteen op een gezicht rust, hangt (ook) af van hoe scherp / rond de rand, of de dobbelsteen voldoende momentum heeft om te rollen over deze rand. aangezien het traagheidsmoment en de hoogte van het zwaartepunt van de matrijs verschillend zijn, afhankelijk van wat voor soort rand het is, moet de rondingnacht ook anders zijn. Ik zie dit adres nergens ‘. Ook heb ik ‘ niet de wiskunde gedaan als het verschil significant is voor de verschillende gezichten, misschien niet veel.
• @mart that ‘ is waar, en ik heb geen manier om dat probleem aan te pakken – ik probeerde het te vermelden als ik zeg dat er andere redenen kunnen zijn waarom de dobbelstenen niet ‘ t zijn eerlijk. Om te testen dat u ‘ niet alleen de daadwerkelijke dobbelstenen hoeft te pakken, die niet op voorraad zijn, maar ook een aantal van die dobbelstenen die niet ‘ t hebben afgeronde hoeken, maar zijn verder identiek.
• Ik vraag me af of iemand met een 3D-printer verschillende dobbelstenen kan maken na het scannen van een ” regelgeving ” sterven. Dan spelen met de parameters op de randen.

Nee, ze zijn niet eerlijk tenzij je de zijkanten negeert

Er zijn een paar vereisten voor een uniforme solide dobbelsteen om eerlijk te zijn.

De actieve zijden moeten face-transitief zijn.

Dobbelstenen zijn alleen eerlijk als alle van de zijden die worden gebruikt, zullen evengoed belanden. Om dit waar te laten zijn, moet het face-transitief zijn, wat betekent dat alle zijden dezelfde vorm hebben. Meer specifiek …

Isohedrale figuur

In geometrie, een polytoop van dimensie 3 (een veelvlak) of hoger is isohedraal of face-transitief wanneer al zijn vlakken hetzelfde zijn. Meer specifiek moeten alle vlakken niet louter congruent zijn, maar moeten ze transitief zijn, d.w.z. ze moeten in dezelfde symmetriebaan liggen. Met andere woorden, voor alle vlakken A en B moet er een symmetrie zijn van de gehele vaste stof door rotaties en reflecties die A op B afbeelden. Om deze reden zijn convexe isohedrale veelvlakken de vormen die eerlijke dobbelstenen zullen maken.

Isotoxische figuur

Regelmatige veelvlakken zijn isohedraal (face-transitief), isogonaal (vertex-transitief) en isotoxaal (edge-transitief).

Deze 7-zijdige dobbelsteen is geen van die dingen. Maar het is als we elk resultaat op de vijfhoekige zijden negeren.

Anders gezegd, gegeven een vlak op de dobbelsteen, moet er een rotatie zijn (ten minste één) die resulteert in elk ander vlak, rand, en hoekpunt wordt afgebeeld op dezelfde plaats als respectievelijk een ander vlak, rand en hoekpunt. Laten we het in 2-d proberen.

Dit maakt een goede tweedimensionale dood gaan. Door de driehoek 120 graden rond het midden te draaien, worden elk hoekpunt en elke rand van de driehoek naar een ander punt toegewezen. Laten we dat naar drie dimensies brengen, bijvoorbeeld een kubus. A d6. We zijn allemaal bekend. Een d6 is een redelijke dobbelsteen omdat er ten minste één rotatie bestaat die ertoe leidt dat elk vlak, elke rand en elk hoekpunt wordt afgebeeld op de locatie van een andere. Een van die rotaties zou natuurlijk een rotatie zijn die kan worden weergegeven door “90 graden op de ene as en 90 graden op een andere”. Of, in Euler Angles , 90, 90, 0. Of, als het helpt, 90 graden hellingshoek en 90 graden gieren. Of een combinatie van pitch, yaw en roll.

Alle andere eerlijke dobbelstenen hebben deze eigenschap. Er bestaat een rotatie die elk vlak, elke rand en elk hoekpunt van een d4 in kaart brengt op een ander vlak, rand en hoekpunt. Er bestaat er een voor een d20. Er zijn in feite veel rotaties die dit doen voor deze eerlijke dobbelstenen. Maar er is geen rotatie die dit doet voor een d7. Je zou het 180 graden rond de “boven” -as kunnen draaien (zittend op geen van beide op 6 of 7), maar dan zou de bovenrand niet zijn vertaald naar de positie van een andere rand. Je zou het plat op 6 kunnen leggen en het 72 graden kunnen draaien, maar dan zouden de vijfhoekige vlakken niet in een ander gezicht zijn vertaald.

Het midden van elk vlak moet op gelijke afstand staan van het massamiddelpunt.

Als het gaat om (eerlijke) dobbelstenen, de zwaartepunt bevindt zich in het exacte midden van het object. Dit betekent dat alle gezichten er op gelijke afstand van staan. Het resultaat hiervan is dat na een worp elk gezicht evenveel kans heeft om naar boven te komen. Als het massamiddelpunt echter wordt verplaatst van het geografische middelpunt van de dobbelsteen, wordt de rotatieas veranderd en is de dobbelsteen niet langer eerlijk. source

Het veranderen van het zwaartepunt staat bekend als het wegen van de dobbelsteen. Aangezien het massamiddelpunt verder van het midden van de matrijs wordt verplaatst, zal het effectief lichtere vlak vaker wel dan niet naar boven rollen.

Eerlijke dobbelstenen maken door gezichten te negeren

Dobbelstenen met een oneven aantal platte vlakken kunnen worden gemaakt als “lange dobbelstenen”. [ 26] Ze zijn gebaseerd op een oneindige reeks prismas. Alle (rechthoekige) gezichten waarop ze daadwerkelijk kunnen landen, zijn congruent, dus ze zijn even eerlijk. (De andere 2 zijden van het prisma zijn afgerond of afgedekt met een piramide, zo ontworpen dat de dobbelsteen nooit echt op die vlakken rust) Bron

Die laatste zin is het belangrijkste deel. Deze 7-zijdige dobbelsteen is redelijk voor reeksen 1-5, op voorwaarde dat je de 6e en 7e zijde negeert. Zoals we hierboven hebben gelezen, kan elk prisma redelijk zijn, op voorwaarde dat de uiteinden “afgedekt” of genegeerd zijn ( zie Lange dobbelstenen ). Een echte d7 wordt dus gemaakt van een zevenhoekig prisma . Dus, de uiteinden negerend, bestaat er een rotatie die elk vlak, elk hoekpunt en elke rand in kaart brengt op de locatie van een ander gezicht, rand en hoekpunt. Laten we teruggaan naar dat voorbeeld hierboven. We leggen het plat op de 6e rand en draaien het 72 graden. Voila! Elk van de vlakken bevindt zich nu op de plaats waar een vlak was, elke rand bevindt zich op de plaats waar een andere rand was en elk hoekpunt bevindt zich op de plaats van een ander hoekpunt . Behalve de doppen, die we “hebben genegeerd.

Meer recentelijk heb je misschien barrel dobbelstenen opgemerkt. Ze gebruiken hetzelfde basisprincipe, behalve dat hun zijkanten driehoeken zijn in plaats van rechthoeken.

Waarom werken niet-symmetrische onorthodoxe vormen niet?

Het resultaat van het feit dat de dobbelsteen transitief is en een massamiddelpunt heeft dat op gelijke afstand van de middelpunten van de vlakken ligt, is dat het dezelfde hoeveelheid kracht in één richting vereist om het om te draaien, ongeacht het vlak dat het heeft geland op. Als we terugkijken naar de d7, kunnen we gemakkelijk raden dat het uitoefenen van kracht om van kant 1 naar kant 2 te gaan dezelfde hoeveelheid kracht is die de d7 zal veranderen van kant 2 naar kant 3 terwijl het op de tafel rust. Dit komt door het feit dat de hoeken tussen de vlakken hetzelfde zijn, en omdat de vlakken aan die zijden hetzelfde zijn. Er is evenveel oppervlak dat de tafel raakt wanneer “1” boven is als wanneer “2” boven is. Laten we de gezichten 6 en 7 bekijken.

Als gezicht 6 omhoog is, is gezicht 7 omlaag. Er ligt nu een groter oppervlak op de tafel. Bovendien is de hoek tussen vlak 6 en elk ander vlak dat het raakt groter (90 graden versus 72 graden). Beide betekenen dat het meer kracht vereist om het op een van de andere vlakken te duwen.Dus wanneer de dobbelsteen tuimelt en gezicht 6 of 7 de tafel raakt aan het einde van de val en een deel van zijn snelheid en rotatiesnelheid verliest, is de kans groter dat de kracht van X niet resulteren in het tuimelen van de dobbelsteen over dat gezicht om op 1-5 te belanden.

Reacties

• Reacties zijn niet bedoeld voor uitgebreide discussie; deze uitgebreide conversatie van veel van de wiskundige / fysieke / statistische punten in het bericht is verplaatst naar zijn eigen speciale chat . Ik raad degenen die tot nu toe hebben gelezen ‘ aan om de chat ook eens te lezen. In elk geval, verdere commentaren moeten uitsluitend gaan over hoe OP hun presentatie van hun standpunt zou kunnen verbeteren; als je wilt beweren dat hun standpunt onjuist is, doe dat dan in je eigen antwoord of in de chat.