de Bessel-filteroverdrachtsfunctie wordt gedefinieerd via bessel-polynomen. Als we bijvoorbeeld een 2e orde filter beschouwen, is de overdrachtsfunctie: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Ik wilde een simulatie bouwen voor zon filter met een Sallen-Key-architectuur. Daarom heb ik deze ontwerpgids van TI geraadpleegd. Ze definiëren de overdrachtsfunctie van een 2e orde low-pass als:
Ao is 1 omdat ik wil dat de winst eenheid is. Ik heb de onderstaande tabel bekeken om de C- en R-waarden correct te berekenen.
De overdrachtsfunctie wordt dus: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Ik heb de simulatie uitgevoerd en naar de voorspelde plot gekeken. Het toonde het gewenste resultaat (de afsnijfrequentie van -3db was zoals berekend).
Ik begrijp echter niet waarom de overdrachtsfunctie er zo anders uitziet. Het is beslist geen Bessel-polynoom. Ik controleerde de stapresponsie en observeerde een overschrijding van 0,4% zoals je zou verwachten voor een Bessel-filter. Daarom heb ik 3 vragen:
- Hoe komt het dat de overdrachtsfunctie in de ti-ontwerpgids geen bessel-polynoom is.
- Moet de poollocatie van een 2e orde Bessel-filter hetzelfde zijn voor elk filter met een bepaalde afsnijfrequentie?
- Kan een tweede orde Bessel-laagdoorlaat een andere Q-factor hebben dan 0,5773?
Bedankt!
Reacties
- De constante in de noemer voor de laatste vergelijking H (s) moet ” 1 ” in plaats van ” 3 “. Laatste vraag: NEE !. Het is alleen de Q-factor die de Bessel-respons bepaalt.
- je hebt gelijk, het was een typefout. Heeft nog steeds niet veel te maken met een bessel-polynoom.
- Waarom niet? Het is een typische filterfunctie met een frequentierespons genaamd ” Thomson-Bessel “. Wat is je probleem? Natuurlijk is de filterfunctie niet identiek aan de ” wiskundige Bessel-polynominale “.
- Ik don ‘ begrijp niet waarom je deze wiskundige definitie aan de ene kant hebt en een overdrachtsfunctie die totaal anders is aan de andere kant. Waar komen deze coëfficiënten vandaan?
- De coëfficiënten van de zogenaamde Bessel-filters worden berekend op basis van de eis van een maximaal vlakke groepsvertraging in de doorlaatband (te vergelijken met een maximaal vlakke amplitude voor Butterworth-filtes) . Er kan worden aangetoond dat we bij de berekening van de coëfficiënten gebruik maken van de bekende Bessel-polynomen (dit is een nogal ingewikkelde procedure) – maar dit betekent niet dat de grootte van de overdrachtsfunctie een respons heeft die lijkt op Bessel-functies. Het is – zoals gezegd – de wiskundige procedure achter het vinden van de coëfficiënten. OK?
Antwoord
Hoe komt het dat de overdracht functie in de ti design guide is geen Bessel-polynoom.
Laten we eens kijken naar de overdrachtsfunctie die je hebt geschreven: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Herschikken: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
De vergelijking is nu in de standaardvorm: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
En duidelijk \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ vandaar 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732 Dit bit is belangrijk omdat het \ $ \ sqrt3 \ $ is.
Voor een Bessel 2e orde laagdoorlaatfilter 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ is de zeta dus 0,866.
Op de foto heb ik R gemanipuleerd om me een dempingsverhouding (zeta) te geven van precies 1,732 – kijk naar de piek in de staprespons – 1,00433 volt – precies goed voor Bessel. Kijk naar de fasevertraging die is uitgezet in de bovenste grafiek – maximaal vlak en geleidelijk overgaand in 90 graden bij de natuurlijke resonantiefrequentie. Fd (de gedempte frequentie) is precies 0,5 – ook indicatief voor Bessel.
Kan een tweede orde Bessel-laagdoorlaat een andere Q-factor hebben dan 0,5773?
0,5773 is het omgekeerde van \ $ \ sqrt3 \ $ en nee, het moet die Q zijn voor een Bessel LPF.
Opmerkingen
- De reden dat de polynoom anders is, is voor de frequentieschaling. Een niet-geschaalde Bessel (OP ‘ s eerste formule) heeft \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, met een verzwakking van ~ -1.597dB @ 1Hz – niets ongewoons, Bessel is normaal gesproken voor platte groepsvertraging, niet voor frequentie – dus heeft TI het geschaald zodat het ‘ de klassieke -3dB is.
- @aconcernedcitizen waarom maak je dit niet een antwoord in plaats van het aan mijn antwoord vast te pinnen, tenzij je natuurlijk te subtiel bent en op een fout in mijn antwoord wijst dat ik ‘ m te dom ben te herkennen?
- Ik had dit als een opmerking geschreven, zodat het antwoord waarop ik de opmerking maak, indien nodig kan worden bijgewerkt. Maar als je zegt dat het een antwoord moet zijn, dan moet dat maar. Ik weet niet ‘ waar kwam de ” stomme ” vandaan.
Antwoord
Een Bessel-filter heeft, zoals je correct laat zien in je eerste formule, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Het is niet ongebruikelijk als je denkt dat normaal gesproken een Bessel-filter wordt gebruikt vanwege zijn vlakke groepsvertraging, in plaats van zijn frequentiegedrag (zoals @LvW zegt in zijn commentaar). Maar het implementeren van een filter met die overdrachtsfunctie geeft een ~ 1.597dB@1Hz verzwakking, wat de respons niet klassiek maakt. Dus paste TI een frequentieschaling toe zodat de verzwakking -3dB @ 1Hz is. De kwadraatfrequentie (pulsatie) is namelijk \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, waarna ze de termen opnieuw hebben gerangschikt zodat ze passen bij hun opamp-topologie.