Ik kijk naar een BEKK Multivariate GARCH-model.
In een standaard GARCH-model verwachten we over het algemeen
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
De alpha ( $ \ alpha $ ) coëfficiënt moet aanzienlijk kleiner zijn dan de bèta ( $ \ beta $ ), zie bijvoorbeeld Verbeeks “Guide to modern econometrics chapter on GARCH”, met ongeveer 0,1 alfa en 0,8 bèta.
Ik ga nu naar een multivariate setting, naar een BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ einde {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
dwz een MV-ARCH (1),
Zou iemand geschikte parameters kennen voor de $ A_ {ij} $ matrix, met een referentie? En ook de BEKK (1,1) met de GARCH-term,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Ik heb geschikte parameterwaarden nodig (zoals in wat we zouden verwachten) voor A en B . Ik begrijp dat dit aanzienlijk zal veranderen tussen datasets enz. Maar in het algemeen zijn er waarden die we zouden kunnen verwachten?
Antwoord
Helaas zijn er geen eenvoudige controles van de $ a_ {ij} $ “s en $ b_ {ij} $ ” s coëfficiënten in het BEKK-geval, zoals $ \ alpha + \ beta < 1 $ zorgen voor stationariteit en een zwakke tijdsafhankelijkheid in de GARCH (1,1) geval. De omstandigheden zijn wat ingewikkelder in het BEKK-geval.
Het proces is stationair en zwak tijdsafhankelijk (in de zin dat het “een geometrisch ergodische Harris terugkerende Markov-keten is), als alle eigenwaarden van de $ k ^ 2 \ keer k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ zijn minder dan 1 en $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ is positief definitief, maar dat zal altijd het geval zijn met $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , aangezien het positief is bepaald door constructie. De $ \ otimes $ geeft het Kronecker-product aan.
Stelling 2 in Comte en Lieberman (2003) zegt dat deze voorwaarde ervoor zorgt dat de maximale waarschijnlijkheidsschatter consistent is, en als we verder aannemen dat het proces een eindig zesde-orde-moment heeft, dat is $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , dan stelt Stelling 3 in Hafner en Preminger (2009) een asymptotische normaliteit vast van de MLE.
Voor zover ik weet, geeft de literatuur geen ongecompliceerde parameterbeperkingen, die eindige zesde orde momenten van het BEKK-proces garandeert. Stelling C.1 in de appendix van Pedersen en Rahbek (2014) bieden voldoende voorwaarden voor de ARCH-versie van het Gaussiaanse BEKK-proces ( $ B_ {11} = 0 $ ), om $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Deze voorwaarde is dat alle eigenwaarden van $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ kleiner moeten zijn dan $ 15 ^ {- 1/3} \ ongeveer 0,4055 $ .
- F. Comte en O. Lieberman. Asymptotische theorie voor multivariate GARCH-processen. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner en A. Preminger. Over asymptotische theorie voor multivariate GARCH-modellen. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen en A. Rahbek. Multivariate variantie-targeting in het bekk -garch-model. The Econometrics Journal, 17 (1): 24-55, 2014.
Opmerkingen
- Ik weet niet zeker of dit van toepassing is op de specifieke vorm van BEKK die hier is bestudeerd, maar McAleer " Wat ze je niet vertelden over algebraïsche (niet) bestaan, wiskundige (ir-) regelmaat en (niet-) asymptotische eigenschappen van de volledige BEKK dynamische voorwaardelijke covariantiemodel " (2019) laat zien dat BEKK misschien niet eens bestaat, behalve onder beperkende omstandigheden, door het vloerkleed van minder dan 4500 papieren te trekken met vermelding van BEKK.
- @Duffau een goed antwoord, maar heb je enig idee wat de kloof tussen A en B zou moeten zijn?
- Bedankt @FrancisOrigi! Onthoud dus dat A en B matrices zijn, dus er is geen duidelijk begrip van " gap ". In dynamische systemen waar het proces wordt bepaald door matrices, bepaalt vaak een soort eigenwaarde de stabiliteit van het systeem. Net als bij de BEKK wordt de stabiliteit (stationariteit en zwakke afhankelijkheid) bepaald door de eigenwaarden van de getransformeerde matrices die ik hierboven heb beschreven. Als je meer wilt weten, zou ik kijken naar lineaire vectorautoregressies, deze zijn het eenvoudigste type met multivariate dynamiek. Ze zijn het equivalent van AR-modellen in de univariate wereld.