Deze vraag heeft hier al een antwoord :
Reacties
- Heb jij heb je hier zelf een mening over? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ zou verkeerd zijn – beschouw een vrijwel zeker constante niet-nul $ X $
- Nee meneer. Ik ken Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 en E (XY) = E (X) E (Y) als X, Y onafhankelijk zijn maar geen idee van X ^ 2 en Y ^ 2 zijn onafhankelijk of niet.
- Als $ X $ en $ Y $ onafhankelijk zijn, zijn $ X ^ 2 $ en $ Y ^ 2 $ ook onafhankelijk en $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Algemene productcase hier: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (product van 2 wordt gegeven in de vraag)
- Heel erg bedankt Glen_b
Antwoord
Je kunt Henrys opmerkingen volgen om tot het antwoord te komen. Een andere manier om tot het antwoord te komen, is door het feit te gebruiken dat als $ X $ en $ Y $ zijn onafhankelijk, en $ Y | X = Y $ en $ X | Y = X $ .
Door herhaalde verwachtingen en variantie-uitdrukkingen
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ tekst {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Reacties
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ kan correct zijn, maar het is vreemd genoeg niet-symmetrisch als $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ zou zijn. Ik had gedacht $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ zou natuurlijker zijn terwijl $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ zou ook waar zijn
- @Henry Nou, als we $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $ gebruiken, krijgen we $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Dat ' is symmetrisch.