hoe kan ik de variantie van p berekenen zoals afgeleid uit een binominale verdeling? Stel dat ik n munten omdraai en k koppen krijg. Ik kan p schatten als k / n, maar hoe kan ik de variantie in die schatting berekenen?
Ik ben hierin geïnteresseerd, zodat ik het kan controle voor variantie in mijn ratio-schattingen wanneer ik “m vergelijk tussen punten met verschillende aantallen proeven. Ik ben meer zeker van de schatting van p als n groter is, dus ik zou graag willen kunnen modelleren hoe betrouwbaar de schatting is.
Bij voorbaat dank!
voorbeeld:
- 40/100. De MLE van p zou 0,4 zijn, maar wat is de variantie in p?
- 4/10. De MLE zou nog steeds 0,4 zijn, maar de schatting is minder betrouwbaar, dus er zou meer variantie in p moeten zijn.
Antwoord
Als $ X $ $ \ text {Binomial} (n, p) $ is, dan is MLE van $ p $ is $ \ hat {p} = X / n $.
Een binominale variabele kan worden gezien als de som van $ n $ Bernoulli willekeurige variabelen. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ waar $ Y_i \ sim \ tekst {Bernoulli} (p) $.
zodat we de variantie van de MLE $ \ hat {p} $ als
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} kunnen berekenen ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
U kunt dus zien dat de variantie van de MLE kleiner wordt voor grote $ n $, en ook kleiner voor $ p $ dichtbij 0 of 1. In termen van $ p $ het is gemaximaliseerd wanneer $ p = 0,5 $.
Voor sommige betrouwbaarheidsintervallen kunt u Binominale betrouwbaarheidsintervallen
Opmerkingen
- Ik denk dat de link vergelijkbaar is met wat ik ' m zoek, maar ik wil een waarde die gelijk is aan de variantie van p. Hoe kan ik dat uit het betrouwbaarheidsinterval halen?
- Ik heb mijn oorspronkelijke antwoord bewerkt om je vraag nauwkeuriger te beantwoorden.
- Hoe ga je om met dat de formule van de variantie p vereist, maar jij heb je alleen een schatting van p?
- Je zou kunnen overwegen om een variantie-stabiliserende transformatie te gebruiken zoals $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ en dan krijg je dat de variantie van de getransformeerde variabele is $ \ tfrac {1} {4n} $