Verschil tussen gehele getallen en decimale getallen

“Counting” (wat leidt tot getallen) is een speciaal geval (met onduidelijkheden) van “meten”, waarbij de rol van “de maat / eenheid” beter zichtbaar is. Het is duidelijk (denk ik) dat de natuurlijke eenheid die geïmpliceerd wordt in tel-situaties een relevante atomaire eenheid is (zoals hele, operationele persoon , in plaats van een niet zo functioneel kleiner deel van een persoon).

Dat wil zeggen, impliciet tellen meet met eenheid de kleinste / atomair haalbare / operationele maat (vaak zo universeel impliciet dat het buiten discussie staat).

Een liefhebberanaloog ontstaat wanneer meer gevorderde studenten voor het eerst worden blootgesteld aan de idee dat oneindige sommen (ook wel “reeksen” genoemd) onder de paraplu van “integralen” vallen, maar met “telmaat” … en dat discrete sets ten minste één natuurlijke regelmatige, positieve Borel-maat hebben, namelijk de telmaat. / p>

Reacties

• 1. Dat is waar ik op doelde in mijn openingszin en dus ben ik het daar natuurlijk mee eens en ik hou van de bijzondere tint die je eraan geeft. 2. Maar hoe reageer je op de zeer rauwe beginnende leerlingen die ” vragen waarom ‘ t we zeg 0,04 DekaPeople sinds we 0,04 KiloPeople kunnen zeggen? Op de een of andere manier helpt 0,04 DekaPeople = 0,4 mensen en 0,04 kiloPeople = 40 mensen niet: hun mening is dat als we eenmaal in het decimale metrische systeem opereren, er geen toevlucht mag worden genomen tot externe overwegingen en dat de dingen er niet van moeten afhangen of de ” noemer ” is Mensen of liter melk .
• @schremmer, ik ‘ d beweer dat zonder ” een beroep zou doen op externe overwegingen ” de rekenkunde is nog steeds logisch, maar de relevantie / toepasbaarheid kan er soms onder lijden. Context is belangrijk.
• Natuurlijk is context essentieel, zoals meestal gebeurt. Dit zijn echter zogenaamde ontwikkelingsstudenten en het is erg moeilijk om met logica rekening te houden.Maar als ze eenmaal beginnen, hangen ze natuurlijk aan dat soort dingen vast. Ik probeer ze te vertellen dat ze altijd kunnen zien aan de hand van de ” noemer “, waarmee ze het eens zijn, maar ze blijven volhouden dat ” er een regel ” zou moeten zijn, ongeacht of we het hebben over mensen van liters melk. Dat is wat ik ‘ niet weet hoe ik moet antwoorden.
• @schremmer, je zou hen kunnen vertellen dat niet alles (zelfs in wiskunde) kan worden teruggebracht tot een lijst met ondubbelzinnige regels. Ik realiseer me dat er verschillende ontwikkelingssituaties zijn, maar toch probeer ik studenten op alle niveaus te verzekeren dat ze niet hun eigen kritische oordeel moeten opschorten … maar / en dat ze een verantwoordelijkheid hebben voor gebruiken het, in plaats van alleen magisch denken te gebruiken of onverklaarbare ” regels ” op te roepen.
• Mijn antwoord op een vraag als ” Waarom kunnen ‘ t we zeggen 0,04 DekaPeople [0,4 mensen] ” is dat we zeker kunnen zoiets zeggen. Bijv. Vraag: Wat is de bevolkingsdichtheid op de Falklandeilanden per vierkante kilometer? Antwoord: 0,26 mensen. link

Waarom kunnen” t we say ” 0,04 mensen ” zeggen omdat we ” 0,04 KiloPeople “?

Sommige hoeveelheden (bijv. Mensen) zijn discrete hoeveelheden en sommige (bijv. meters, dollars) zijn continue hoeveelheden.

De volgende discussie komt van hier . (Ik heb benadrukt de woorden ” natuurlijk getal ” en ” decimaal. “)

Classificatie van hoeveelheden

Een hoeveelheid is ofwel discreet of continu . Een discrete hoeveelheid is de grootte van een telbare set (een waarvan de elementen “onderling gescheiden en individueel onderscheiden” zijn). De numerieke waarde is een natuurlijk getal (“verdeling in een hoeveelheid kleiner dan een eenheid kan niet worden beschouwd”) en de eenheid is duidelijk aan het begin. Een voorbeeld van een discrete hoeveelheid is drie jongens.

Een continue hoeveelheid is de grootte van een continuüm (een continue entiteit die kan worden onderverdeeld in een aantal kleinere delen, zodat elke twee van dergelijke entiteiten kunnen worden gecombineerd tot een grotere ”). De numerieke waarde (een decimaal of een breuk) en de eenheid “zijn niet a priori . ” Een voorbeeld van een continue hoeveelheid is “drie dollar”.

Een continue hoeveelheid is ofwel uitgebreid of intensief . De eerste drukt breedte of omvang uit (zoals oppervlakte of gewicht); het laatste drukt kwaliteit of intensiteit uit (zoals dichtheid of snelheid). Een uitgebreide hoeveelheid heeft additiviteit: het attribuut van de vereniging van twee lichamen is gelijk aan de som van de attributen van de twee lichamen. Een intensieve hoeveelheid heeft geen additief. Het gewicht van twee lichamen is bijvoorbeeld noodzakelijkerwijs de som van hun gewichten, maar de snelheid van twee lichamen is niet noodzakelijk de som van hun snelheden.

De tekst is geschreven voor wiskundedocenten, maar kan worden geherformuleerd om gemakkelijker te worden begrepen door beginners.)

Mijn oorspronkelijke antwoord (hier opgenomen voor context) waarop het OP wees ging niet in op de bedoelde vraag:

Sommige hoeveelheden, zoals bijvoorbeeld $ 1/3 $ liter, hebben decimale representaties ( $ 0. \ overline {3} $ liters) maar geen weergave van hele getallen.

Reacties

• Wat heeft dit te maken met mijn vraag?
• Je vraag was ” Waar trek je de grens tussen geheel en decimaal en hoe leg je het uit aan zeer rauwe beginnende studenten die willen begrijpen ? ” I stel voor dat je de lijn trekt wanneer de decimale weergave niet ophoudt en dat dit voorbeeld duidelijk moet zijn voor ” zeer ruw begin ” studenten .
• @De zeer rauwe beginners waarmee ik te maken heb, hebben geen idee van wat een decimaal kan vertegenwoordigen, laat staan van een decimale weergave die niet ophoudt. Bovendien is 1/3 liter melk 1 , wat een geheel getal is dat numereert de dingen _ uitgedrukt_ door waarvan het duurt 3 om een liter melk te maken dus hier is uw gehele getalweergave.Dat heeft in ieder geval weinig te maken met de oorspronkelijke vraag.
• Dus hoe zit het met $ \ sqrt {2} $ meter, de lengte van de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met elk been met een lengte van $ 1 $ meter? Bent u het ermee eens dat het een decimale weergave heeft, maar geen weergave van een geheel getal?
• Natuurlijk, maar wat heeft het te maken met de oorspronkelijke vraag? Je beantwoordt nog steeds een vraag die ik nooit heb gesteld . De vraag die ik stelde draait zich om: waarom kunnen we ‘ zeggen ” 0,04 mensen ” aangezien we kunnen zeggen ” 0,04 KiloPeople “?

Ik denk dat de verwarring grotendeels een gevolg is van het feit dat veel mensen de voorvoegsels van het metrieke stelsel vinden ( kilo- , centi- , etc.) onbekend, en vind decimalen (zelfs afsluitende) minder intuïtief dan de “vulgaire breuken” die ze vertegenwoordigen.

Als iemand mij zou vragen “Hoe kan 0,004 kilometer, een decimaal getal, hetzelfde als 4 meter, een geheel getal “? (zoals het OP vermeldt in de opmerkingen onder zijn vraag), zou ik reageren met zoiets als dit:

Heeft u ook last van het feit dat $ 1 / 2 $ een dozijn eieren, een breuk, is hetzelfde als 6 eieren, een geheel getal?

Wat er daarna komt, hangt af van het antwoord van de vraagsteller Maar laten we aannemen dat ze reageren met iets als: “Oké, dat begrijp ik. Maar waarom kan ik” 0,04 kilopeople “zeggen, maar ik kan” niet “0,04 mensen zeggen?” In dat geval zou ik reageren met :

Heeft u ook last van het feit dat u wel een half dozijn eieren kunt koken, maar geen half ei kunt koken?

Het doel van deze reacties is, voor de duidelijkheid, niet om het gesprek met een zinger te beëindigen, maar om aan de oppervlakte te brengen wat de onderliggende problemen zijn: ” 1 kilopeople betekent hetzelfde als 1000 mensen , en u kunt op dezelfde manier de helft van de duizend mensen hebben als een half dozijn eieren. Aan de andere kant kun je niet $ 1/7 $ van duizend mensen hebben, op precies dezelfde manier dat je “geen $ 1/7 $ van een dozijn eieren kunt hebben.

Reacties

• Mijn probleem met een vraag als ” Waarom kan ‘ t we zeggen ‘ 0,04 Mensen ‘ “, is dat het lijkt mij dat we dat zeker kunnen zeggen. Het kan bijvoorbeeld de bevolkingsdichtheid per vierkante kilometer in een bepaalde regio zijn. Sterker nog: 0,04 mensen eigenlijk is precies de bevolkingsdichtheid (per km ^ 2) op de eilanden Svalbard en Jan Mayen in Noorwegen. link .
• @mweiss Ontwikkelingsstudenten die beginnen vragen te stellen, houden er niet van om met een vraag beantwoord te worden. Ze zouden je ” Storen je ook … ” afwijzen als een ” leraar truc “. Later, in de discussie, zouden ze natuurlijk geen bezwaar hebben tegen uw redenering en zouden ze er in feite achter staan. Waar ik echter denk dat hun vraag echt over gaat, zoals ik tegen Paul Garrett zei, is: ” zodra we in het decimale metrieke stelsel opereren, mogen we geen toevlucht nemen tot externe overwegingen en dingen mogen er niet van afhangen of de ” noemer ” Mensen of liters melk is. ”