Vijf hoeken in een ster

$ \ hskip 1.5in $

Plaats je potlood op regel 1.

Draai je potlood zodat het op lijn 2 komt te staan. Je hebt het zojuist tegen de klok in gedraaid met de hoek bovenaan het pentagram.

Draai het nu weer tegen de klok in op lijn 3. Dan weer op regel 4, dan 5, en tenslotte weer terug naar 1. Je hebt zojuist je potlood achter elkaar door alle vijf hoeken van het pentagram gedraaid.

En wat is er gebeurd? Het potlood ligt nu op dezelfde lijn als waar het begon, in de tegenovergestelde richting wijzend.Als je bijhoudt in welke richting het potlood bij elke stap wijst, kun je zien dat je het in totaal een halve slag tegen de klok in hebt gedraaid. Vanwaar $ 180 ^ \ circ $.

Reacties

• Dit zal een mooi bewijs zijn als je het aanpast om de mogelijkheid uit te sluiten dat je de potlood door een ander oneven veelvoud van $ 180 ^ \ circ $. Met dit heptagram wijst het potlood ook de andere kant op, maar is het gedraaid door $ 540 ^ \ circ $
• Er is een voortdurende vervorming door het referentiepentagram naar elk vervormd pentagram. De rotatie kan dus niet van het ene veelvoud van 180∘ naar het andere springen.
• Kortom, elke $ \ {m: n \} $ – gram waarbij $ n < \ frac m 2 $ roteert $ 360 \ keer (\ frac m 2 – n) $ graden.
• Leuke uitleg Lopsy … eenvoudig, schoon 🙂 Ik wilde zeggen, neem 4 hoeken en visueel begin ze terug te brengen tot 0 .. denk na over hoe de ster eruitziet terwijl dit gebeurt … de 5e hoek blijft groeien om tegemoet te komen … tot 4 hoeken 0 zijn, en de 5e is 180 (dwz een rechte lijn) ..: ) Maar ik hou van Lopsy ‘ s uitleg beter ..;)
• Het mooie van dit antwoord is dat het niet ‘ t lezen als een wiskundig bewijs. Iedereen kan het begrijpen.

Hier is nog een bewijs.

Label de punten zoals getoond, en teken de lijnstuk-CD. Gebruik A, B, etc. om de hoeken aan te duiden waarvan we gevraagd worden om de som te vinden.

Nu

$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (hoeken in een driehoek)

Het is dus voldoende om te bewijzen dat

$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $

Nu

$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ en $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $

Het is dus voldoende om te bewijzen dat

$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $

wat duidelijk waar is, want

de LHS is de aanvulling van $ \ angle DFC $ en de RHS is de aanvulling van $ \ angle EFB $ , waarbij $ \ angle DFC $ en $ \ angle EFB $ gelijk zijn omdat ze verticaal tegenover elkaar staan .

Reacties

• Dit is het antwoord dat ik zocht.
• Je kunt deze oplossing dus eigenlijk distilleren tot 2 regels: hoeken in driehoeken = 180 en tegenovergestelde hoeken van 2 elkaar snijdende lijnen zijn gelijk.
• @randal ‘ thor Deze oplossing omvat ook toevoeging, dus zou niet voldoen aan uw beperkingen, of u zou uw beperkingen moeten wijzigen.
• Ja, ik wilde zeggen dat dit niet -de- is maar een van de meest wiskundige -achtige antwoorden hier. Het ontbreken van rekenkundige bewerkingen betekent niet dat het geen ‘ t wiskunde is …

De som van de binnenhoeken van een vijfhoek is altijd 540 °.

De hoek van elk buitenpunt is altijd de som van de twee aangrenzende binnenhoeken – 180 °. We kunnen dit zeggen omdat, gegeven de interne hoeken A en B, de hoeken van de driehoek 180 – A, 180 – B, X zijn. Per definitie van hoeken van een driehoek is X gelijk aan $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.

Elke binnenhoek van de vijfhoek wordt twee keer gebruikt, en er zijn 5 punten, dus $ (2 \ times 540) – (5 \ times 180) = 180 ° $

Opmerkingen

• Ik geloof dat dit een geometrie van graad 9 is die zijn kop uitsteekt …
• Dit is ingewikkelder dan het bewijs waar ik aan dacht. Ik kan de vraag aanpassen om de mogelijke bewijzen iets meer te beperken, maar ik ‘ zal je nog steeds een +1 geven. Kunt u uw tweede zin rechtvaardigen? Ook begrijp ik niet ‘ wat de derde zin zegt.
• Als we A en B twee aangrenzende binnenhoeken van de vijfhoek laten zijn, dan is de hoek van het punt in de driehoek is 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
• +1 Mooi bewijs, maar het zou gaaf zijn als je een foto of 2 zou kunnen gebruiken, of zelfs een gif!
• Ik denk dat het ‘ mogelijk is om dit bewijs te generaliseren om aan te tonen dat de hoeken op de punten van elke n -gram som op $ 180 ^ \ circ $ op voorwaarde dat de vorm elk punt verbindt met twee aangrenzende punten op de n -hoek.(Merk op dat het unicursale hexagram ‘ niet voldoet aan het verbindingscriterium; evenmin voldoet het hexagram gevormd uit twee driehoeken; en slechts een van de twee unicursale heptagrammen doet dat.)

Hier is nog een mooi bewijs, dit keer door inductie. We kunnen het pentagram maken door met het gewone te beginnen en achtereenvolgens vier van de punten te verplaatsen. Het is dus voldoende om te bewijzen dat

het verplaatsen van een punt in een pentagram de som van de hoeken bij de points

Let “s

verplaats punt A naar A” en roep zowel de hoek bij A als de hoek bij A “the top angle

We krijgen dit:

Het is voldoende om te bewijzen dat

de verandering in de tophoek en de veranderingen in de hoek es bij C en D tellen op tot nul.

Op dit nieuwe diagram

we laten zien

de verandering in de tophoek als $ xw $ en de veranderingen in D en C als $ -y $ en $ z $,

en we moeten bewijzen dat

$ xw-y + z = 0 $, of met andere woorden, dat $ x + z = w + y $,

wat duidelijk is, zoals eerder, omdat

LHS en RHS zijn de complementen van verticaal tegenovergestelde hoeken bij G.

Een andere benadering:

Beginnend met de gewone ster, weten we dat $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Laten we nu een lijnsegment tekenen zoals weergegeven in het diagram.

Merk op dat $ B, D, E $ blijven ongewijzigd! Uit onze waarnemingen zien we dat $ Y = C – X $ en $ Z = A + X $.

Dus de som van de punten van onze nieuwe ster $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.

We kunnen dus doorgaan met het tekenen van segmenten en nieuwe sterren maken (en ze) totdat we de gewenste vorm hebben bereikt.

Opmerkingen

• Leuk, maar kun je misschien iets toevoegen om het intuïtiever te maken dat je een algemeen onregelmatig pentagram door een reeks bewegingen van één punt langs een van de lijnen door dat punt en herschikkingen.
• Ik zou het kunnen proberen als de geometrie ‘ geen pijn deed mijn brein zo veel D:

Het is onvermijdelijk dat sommige rekenkunde moet worden gedaan – de beoogde conclusie is tenslotte een kwantitatieve conclusie – dus de uitdaging mag niet t zijn o verberg de rekenkunde, noch om het met een andere naam te noemen, maar om het duidelijk en doodeenvoudig te maken. Het volgende argument reduceert de rekenkunde tot de observatie dat vijf één meer is dan vier (en dat een geheel twee keer de helft is, een feit dat terloops wordt gebruikt).

De ster draait twee keer rond zijn middelpunt, en daarom zal iedereen die hem doorkruist twee volledige cirkels moeten draaien (vier halve cirkels). Alle draaien vindt alleen plaats bij de hoekpunten, waar het maximale aantal een volledige ommekeer is van een halve cirkel. Voor vijf hoekpunten zouden dat vijf halve cirkels zijn, of nog één halve cirkel meer dan er feitelijk wordt gedraaid: 180 graden. Het tekort tussen dit maximum en de hoeveelheid draaiing die werkelijk wordt bereikt, is precies de som van de binnenhoeken, QED.

Deze benadering wordt gebruikt in de moderne wiskunde (dat wil zeggen na de 18e eeuw). Het generaliseert willekeurige figuren van willekeurige afmetingen binnen andere figuren die zelf kunnen worden gebogen. Het staat bekend als de Gauss-Bonnet-stelling .

Er is een op cirkels gebaseerde stelling die stelt: “De maat van een ingeschreven hoek is de helft van de maat van de boog die deze onderschept.” Dit betekent dat voor hoek x de boog die het onderschept 2x is.

Als je nu de ster in een cirkel schrijft, krijg je dit:

Als je de vorige tekening labelt, krijg je dit;

Met deze stelling weten we dat hoek ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, en ∠ 5 = b / 2. Als we dat verdelen, krijgen we ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Bovendien, omdat de maten van alle bogen in een cirkel optellen tot 360, weten we dat a + b + c + d + e = 360 . Ten slotte krijgen we met de substitutie-eigenschap ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , of ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . De som van alle hoeken is dus 180.

Opmerkingen

• Er is ‘ een fout in uw argument: niet elk pentagram kan worden ingeschreven in een cirkel.
• @ThomasKwa Kunt u mij een voorbeeld geven?
• @ user1812 verplaats gewoon een punt op uw voorbeeld in of uit de cirkel. Er zijn maar drie punten nodig om een cirkel te definiëren, en een pentagram heeft er vijf.

Dit bewijs in een zintuig is niets anders dan het tellen van de graden van hoeken.

Bedenk dat een vijfhoek, of hij nu regelmatig of onregelmatig is, de som van de interne hoeken 540 heeft. de hoeken van een snijpunt van 2 rechte lijnen zijn samen 360, waarbij ook de tegenovergestelde hoeken congruent zijn.

Beschouw de 5 punten van de centrale vijfhoek, de punten waar het snijpunt van 2 lijnen voorkomt. Rondom deze 5 punten zijn 360 x 5 = 1800 graden totaal, en 5 x 4 = 20 hoeken om te tellen.

Van de 20 hoeken zijn er 5 afkomstig van de vijfhoek, en nog eens 5 congruent aan die. Dit is dus goed voor 540 + 540 = 1080 graden. De overblijfselen van de 1800 – 1080 = 720 graden komen van binnen de 5 driehoeken.

5 driehoeken bevatten 5 x 180 = 900 graden aan binnenhoeken. 720 van die graden bevinden zich op de hoeken van de vijfhoek / driehoek / kruising.

Dit laat bij de toppen van de ster 900 – 720 = 180 graden.

Bewerken: de rekenkundige bewerkingen zijn hier gewoon een afkorting voor hoek optellen en aftrekken, hetzelfde als bij andere antwoorden.

Het centrale Pentagon als A, B, C, D , E bevat 540 GRADEN

Som de 5 PAIRS aanvullende hoeken op, dwz. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Deze 720 graden vertegenwoordigt de “basis” hoeken van de 5 driehoeken die 5 * 180 = 900900-720 = 180 bedragen (de 5 hoeken die worden gezocht.

De vijf driehoeken op de punten tellen op tot 5 * 180 = 900

Opmerkingen

• De vraag wordt specifiek gevraagd om het te bewijzen zonder rekenkundige bewerkingen te gebruiken.