Waar wordt de Atiyah-Singer-indexstelling gebruikt in de natuurkunde?

De bewegingsvergelijkingen, of de vergelijkingen van instantonen, of solitonen, of Einsteins vergelijkingen, of zo ongeveer alle vergelijkingen in de natuurkunde, zijn differentiaalvergelijkingen. In veel gevallen zijn we geïnteresseerd in de oplossingsruimte van een differentiaalvergelijking. Als we de totale (mogelijk niet-lineaire) differentiaalvergelijking van belang schrijven als $ L (u) = 0, $ kunnen we lineariseren in de buurt van een oplossing $ u_0, $ dwz $ u = u_0 + v $ schrijven en expand $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ om een lineaire vergelijking $ D te construeren (v) = 0 $ in de verplaatsing $ v. $

Een lineaire differentiaalvergelijking is als een matrixvergelijking. Bedenk dat een $ n \ times m $ matrix $ M $ een kaart is van $ R ^ n $ tot $ R ^ m $, en $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ onafhankelijk van de specifieke matrix (of lineaire transformatie, meer in het algemeen). Dit nummer wordt de “index” genoemd. In oneindige dimensies zijn deze getallen over het algemeen niet eindig, maar vaak (vooral voor elliptische differentiaalvergelijkingen) zijn ze, en hangen ze alleen af van bepaalde “globale” informatie over de ruimtes waarop ze werken.

De indexstelling vertelt je wat de index van een lineaire differentiaaloperator ($ D, $ hierboven) is. U kunt het gebruiken om de dimensie te berekenen van de ruimte van oplossingen voor de vergelijking $ L (u) = 0. $ (Wanneer de oplossingsruimte een verdeelstuk is [een ander verhaal], is de dimensie de dimensie van de raakruimte, die de vergelijking $ D (v) = 0 $ beschrijft.) Het vertelt je niet wat de werkelijke ruimte van oplossingen is. Dat is “een moeilijke, niet-lineaire vraag.

Opmerkingen

• Ik denk dat het ‘ een mooi wiskundig antwoord is voor natuurkundigen die de verklaring van de indexstelling niet al ‘ kennen. Maar ik zie geen echt fysiek voorbeeld. Dat is jammer, ik weet zeker dat Eric er veel van moet kennen . Ik weet dat mensen het de hele tijd in de snaartheorie gebruiken. Maar ik weet niet genoeg ‘ om zelf een antwoord te geven.
• De indexstelling is zeer algemeen en is van toepassing op alle voorbeelden die ik heb aangehaald (instantonen, solitonen, Einstein ‘ s vergelijkingen). De moduliruimte van $ SU (2) $ instantonen op de vier -sfeer $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ met constant gedrag op oneindig) met instant-nummer $ k $ is gelijk aan $ 8k – 3 $ volgens de indexstelling.
• Nou, je zei ” zowat alle vergelijkingen in de natuurkunde ” wat in directe tegenspraak is met mijn dagelijkse observatie 🙂 Waar ik op hoopte, waren enkele concrete voorbeelden zoals die van Steve. Of zoiets als je instanton-voorbeeld (ik denk dat je echter $ S ^ 3 $ bedoelde?). Ik zou er graag meer van willen zien, vooral in verband met een fysieke interpretatie. Bij voorbaat dank 🙂
• Het is waar dat zowat elke vergelijking in de natuurkunde een differentiaalvergelijking is! Niet alle leiden echter tot indexproblemen. (Ik bedoelde S ^ 4. Instantonen zijn tijdsafhankelijke veldconfiguraties.) Een voorbeeld uit de snaartheorie, waarvan de Feynman-diagrammen tweedimensionale QFT-amplitudes zijn. Die 2d-veldentheorie beschrijft kaarten van een oppervlak naar een ruimtetijd, en de instantonen van die theorie zijn holomorfe kaarten. De dimensie van de ruimte van dergelijke kaarten wordt bepaald door een indexformule. Voor een CY is deze dimensie nul, wat betekent dat je oplossingen kunt tellen (dit is gerelateerd aan de topologische snaartheorie).
• +1 voor het mooie antwoord en de vermelding van instantonen. Maar is er eigenlijk een toepassing op de vergelijking van Einstein ‘? AFAIK de indexstelling is van toepassing op lineaire elliptische operatoren …

Eric en anderen hebben goede antwoorden waarom men verwacht dat de indexstelling in verschillende fysische systemen zal voorkomen. Een van de eerste en belangrijkste toepassingen is de oplossing van “t Hooft” voor het $ U (1) $ -probleem. Dit verwijst naar het ontbreken van een negende pseudo-Goldstone boson (zoals de pionen en Kaons) in QCD dat men naïef zou verwachten van het breken van de chirale symmetrie. De resolutie bestaat uit twee delen. De eerste is het feit dat de chirale $ U (1) $ afwijkend is. Het tweede is het besef dat er configuraties van eindige actie (instantonen) zijn die bijdragen aan correlatiefuncties die de divergentie van de $ U (1) $ axiale stroom omvatten. De analyse steunt sterk op de indexstelling voor de Dirac-operator gekoppeld aan het $ SU (3) $ ijkveld van QCD. Voor een meer volledige uitleg, zie S. Colemans Erice lezingen “The use of instantons.”Er zijn ook belangrijke toepassingen voor S-dualiteit van $ N = 4 $ SYM die betrekking hebben op de indexstelling voor de Dirac-operator op monopoolmoduliruimten.

Opmerkingen

• Jeff, blijf aan de lijn! Ik denk dat Physics Stack Exchange nuttig kan zijn voor de natuurkundegemeenschap als het zo wijd en verstandig wordt gebruikt als Math Overflow, bijvoorbeeld door mensen zoals jij!
• Bedankt Eric. Ik begrijp dat dit net opnieuw is opgestart. Ik hoop dat het werkt. Het heeft nog een aantal manieren te gaan voordat het MO-kwaliteit is.
• Inderdaad. Ik denk dat er ‘ is nu een site in ontwikkeling (Theoretische Fysica Stack Exchange) die ernaar zal streven meer op Math Overflow te lijken, maar deze heeft het voordeel dat hij nog bestaat.

Laat me eerst uitleggen waarnaar de index in kwestie verwijst . Als de wiskunde te vol jargon wordt, laat het me weten in de commentaren.

In de natuurkunde zijn we vaak geïnteresseerd in de spectrum van verschillende operators op sommige manifolds waar we om geven. Bijv .: de Dirac-operator in een ruimtetijd van 3 + 1. Met name de lage-energetische lange-afstandsfysica is vervat in de nulmodi (grondtoestanden).

Wat meet de “index” nu, voor de Dirac-operator $ D $ en een gegeven verdeelstuk $ M $, is het verschil tussen het aantal linkshandige nulmodi en het aantal rechtshandige nulmodi. Meer technisch:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

waarbij $ D $ is de betreffende operator; $ ker \, D $ is de kern van $ D $ – de reeks toestanden die worden vernietigd door $ D $; en $ ker \, D ^ {+} $ is de kern van zijn adjoint. Dan, zoals je kunt zien, telt $ ind \, D $ het verschil tussen de dimensies van deze twee ruimtes. Dit aantal hangt alleen af van de topologie van $ M $.

Kortom, de ASI-stelling relateert de topologie van een verdeelstuk $ M $ aan de nulmodi of grondtoestanden van een differentiële operator $ D $ die werkt op $ M $. Dit is duidelijk informatie die relevant is voor natuurkundigen.

Misschien kan iemand anders meer uitweiden over de fysieke aspecten.

De beste referentie voor dit en andere wiskundige natuurkundige onderwerpen is naar mijn mening Nakahara .

In het geval van een Dirac-operator, de index is de (ondertekende) overmaat van de ruimte van vacuümmodi van de ene chiraliteit w / r / t de andere: dat wil zeggen, het aantal afwijkende “geest” -toestanden in een chirale veldentheorie.

Anomalieën doen zich voor wanneer de klassieke / kwantumsymmetrie-correspondentie afbreekt onder renormalisatie (een globale anomalie zou verantwoordelijk kunnen zijn voor quarkmassa in QCD; oplossen van de lokale chirale anomalie in de SM-rekeningen voor quarks en leptonen; oplossen in supersnaartheorie legt de ijking vast groep [naar SO (32) of E8 x E8], en de resolutie van een conforme anomalie legt de dimensie van de ruimtetijd en de fermioninhoud vast). Als je snaartheorie probeert om te zetten in werkelijke natuurkunde, vraag je je af

• Kan het drie generaties chirale fermionen verklaren?
• Kan het de experimentele resultaten van protonverval verklaren?
• Kan het de kleinheid van de elektronenmassa verklaren?
• Kan het [dingen over de kosmologische constante] uitleggen?

en AST helpt om deze vragen te beantwoorden.